LIBRO X - Terza Parte
Prop.92: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una apotome seconda, allora il lato dell'area è una apotome prima di una mediale
Dimostrazione
Sia l'area AB compresa dalla retta razionale AC e dall'apotome seconda AD: dico che il lato dell'area AB è apotome prima di una mediale.
Sia DG adattata a AD. Allora AG e GD sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e la retta che si adatta DG è commensurabile con la razionale AC fissata, mentre il quadrato su AG totale è maggiore del quadrato su quella che si adatta GD per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con AG (Prop.10-73).
Poiché il quadrato su AG è maggiore del quadrato su GD per il quadrato su una retta commensurabile con se stessa, allora, se è applicato ad AG un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato su GD e facente difetto di una figura quadrata, allora la divide in segmenti commensurabili (Prop.10-17).
Si sechi DG a metà in E, e si applichi ad AG un parallelogrammo uguale al quadrato su EG e facente difetto per una figura quadrata, e sia questa il rettangolo AF per FG. Allora AF è commensurabile in lunghezza con FG. Anche AG è quindi commensurabile in lunghezza con ognuna delle rette AF, FG (Prop.10-15).
Ma AG è razionale e incommensurabile in lunghezza con AC, pertanto anche ognuna delle AF e FG è razionale e incommensurabile in lunghezza con AC (Prop.10-13). Uno e l'altro dei rettangoli AI, FK è quindi mediale (Prop.10-21).
Di nuovo, poiché DE è commensurabile con EG, allora anche DG è commensurabile con ognuna delle rette DE, EG (Prop.10-15). Ma DG è commensurabile in lunghezza con AC. Uno e l'altro dei rettangoli DH e EK è quindi razionale (Prop.10-19).
Si costruisca il quadrato LM uguale ad AI, e si sottragga il quadrato NO, uguale a FK, avente un angolo comune con esso, l'angolo LPM. I quadrati LM, NO sono quindi intorno alla stessa diagonale (Prop.6-26). Sia PR la loro diagonale, e si completi la figura.
Poiché AI e FK sono mediali i uguali ai quadrati su LP e PN, anche i quadrati su LP e PN sono mediali, pertanto anche LP e PN sono rette mediali commensurabili soltanto in potenza. Poiché il rettangolo AF per FG è uguale al quadrato su EG, allora AF sta a EG come EG sta a FG, mentre AF sta a EG come AI sta a EK, e EG sta a FG come EK sta a FK. EK è quindi medio proporzionale tra AI e FK (Prop.6-17).
Ma MN è anche medio proporzionale tra i quadrati su LM e NO, e AI è uguale a LM mentre FK è uguale a NO, anche MN è quindi uguale a EK. Ma DH è uguale a EK, e LO è uguale a MN, pertanto DK totale è uguale allo gnomone UVW e a NO.
Poiché, quindi, AK totale è uguale a LM e NO, dei quali DK è uguale allo gnomone UVW e a NO, allora AB restante è uguale a TS. Ma TS è il quadrato su LN, pertanto il quadrato su LN è uguale all'area AB. LN è quindi il lato dell'area AB.
Dico ora che LN è una apotome prima di una mediale.
Poiché EK è razionale e uguale a LO, allora LO, cioè il rettangolo LP per PN, è razionale. Ma è stato dimostrato che NO è mediale, pertanto LO è incommensurabile con NO. Ma LO sta a NO come LP sta a PN (Prop.6-1), pertanto LP e PN sono incommensurabili in lunghezza (Prop.10-11).
LP e PN sono quindi rette mediali commensurabili soltanto in potenza, che comprendono un rettangolo razionale. LN è quindi una apotome prima di una retta mediale (Prop.10-74). Ed è il lato dell'area AB. Il lato dell'area AB è quindi una apotome prima di una mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AD e DG adiacenti
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a AD passante per A e su di essa traccia il segmento AC
- Perpendicolare: completa il rettangolo AB
- Punto Medio: segna il punto medio, E, di DG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GF = (AG-sqrt(AGxAG-4xAG*AC+DGxDG)
- Perpendicolare: traccia le perpendicolari ad AG passanti per E e F
- Parallela: disegna la parallela a AG passante per un punto L
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato LP = sqrt(AFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato LM
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato NP = sqrt(GFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato NO
- Segmento: disegna i segmenti NT, SO
- Angolo: disegna l'angolo concavo UVW