LIBRO VII
Prop.24: Se due numeri sono primi rispetto a un certo numero, anche il loro prodotto è primo rispetto allo stesso
Dimostrazione
Siano A e B due numeri ciascuno primo rispetto a un certo numero C e A moltiplicato per B produca D: dico che anche C e D sono primi tra loro.
Se infatti C e D non sono primi tra loro, allora un certo numero E misura C e D. Poiché C e A sono primi tra loro, e un certo numero E misura C, allora A ed E sono primi tra loro (Prop.7-23).
Quante volte pertanto E misura D, tante unità sono in F. Anche F quindi misura D secondo le unità in E (Prop.7-16). Pertanto E moltiplicato per F produce D. Ma anche A moltiplicato per B produce D, pertanto il prodotto di E e F è uguale al prodotto di A e B (Def.7-15). Ma, se il prodotto degli estremi è uguale a quello dei medi, allora i quattro numeri sono in proporzione (Prop.7-19). E sta quindi ad A come B sta a F.
Ma A ed E sono primi tra loro, e i primi anche i minimi (Prop.7-21), e i numeri minimi tra quelli che hanno il loro stesso rapporto misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto (Prop.7-20), sia il maggiore il maggiore che il minore il minore, cioè, sia l'antecedente l'antecedente, che il conseguente il conseguente; E pertanto misura B.
Ma misura anche C, pertanto E misura B e C che sono primi tra loro, il che è impossibile. Non si dà quindi il caso che un certo numero misuri i numeri C e D. Pertanto C e D sono primi tra loro.
Pertanto, se due numeri sono primi rispetto a un certo numero, allora anche il loro prodotto è primo rispetto allo stesso.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti (parallele tra loro)
- Segmento: disegna i segmenti A, B, C, F, E
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento D = AxB
Questa proposizione afferma che se due numeri sono ognuno primo rispetto ad un terzo numero (esempio \(3\) è primo rispetto a \(4\) e \(5\) è primo rispetto a \(4\)) allora il prodotto è ancora primo rispetto allo stesso numero (cioè, \(3 \times 5 = 15\) è ancora primo rispetto a \(4\)). Se infatti i due numeri non hanno divisori comuni con un terzo numero, quest'ultimo non avrà divisori comuni con il prodotto dei due numeri assegnati.
La proposizione è utilizzata nel Libro IX.