Elementi di Euclide

Prop.17: Se vi sono quanti si voglia numeri in proporzione continua, e i loro estremi sono primi tra loro, allora l'ultimo non sta ad un certo altro numero come il primo al secondo

Dimostrazione

Siano quanti si voglia numeri A, B, C, D in proporzione continua e i loro estremi, A e D, siano primi tra loro: dico che B non sta ad un certo altro numero come A sta a B.

Se possibile, sia A sta a B così come D a E e, alternando A sta a D come B sta a E (Prop.7-13).

Ma A e D sono primi tra loro, e i primi sono anche minimi (Prop.7-21), e i numeri minimi misurano le stesse volte quelli che hanno lo stesso rapporto, sia l'antecedente l'antecedente e il conseguente il conseguente (Prop.7-20). A misura quindi B e A sta a B come B sta a C. Pertanto anche B misura C, così che anche A misura C.

E poiché B sta a C come C sta a D, e B misura C, allora anche C misura D. Ma A misura C, così che anche A misura D. Ma misura anche se stesso, pertanto A misura A e D che sono primi tra loro, il che è impossibile.

D non sta quindi a un certo altro numero come A sta a B.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A, B
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = BxB/A; D= CxC/B; E = BxD/A

Questa proposizione generalizza la precedente passando dal rapporto tra due termini ad una proporzione continua composta di un numero arbitrario di termini. Afferma che una proporzione continua nei minimi termini non può essere estesa.