LIBRO IX
Prop.18: Dati due numeri, investigare se è possibile trovare un loro terzo proporzionale
Dimostrazione
Siano A, B i due numeri dati e si debba investigare se è possibile trovare un loro terzo proporzionale.
Ora A e B sono primi tra loro oppure no. E, se sono primi tra loro, è stata dimostrata l'impossibilità di trovare un loro terzo proporzionale (Prop.9-16).
Ma ora non siano A e B primi tra loro, e B moltiplicato per se stesso produca C. Allora A o misura C o non lo misura.
In primo luogo, lo misuri secondo D. Allora A moltiplicato D produce C. Ma anche B moltiplicato per se stesso produce C, pertanto il prodotto tra A e D è uguale al quadrato su B. Pertanto A sta a B come B sta a D, ed un terzo proporzionale D è stato quindi trovato di A e B (Prop.7-19).
Ma ora A non misuri C: dico che è impossibile trovare un terzo proporzionale di A e B.
Se possibile, sia D tale terzo proporzionale. Allora il prodotto tra A e D è uguale al quadrato su B. Ma il quadrato su B è C; il prodotto tra A e D è quindi uguale a C. Così che A moltiplicato per D produce C, pertanto A misura C secondo D. Ma è anche stato supposto che non lo misuri, il che è assurdo.
Non è quindi possibile trovare un terzo proporzionale di A e B quando A non misura C.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = BxB; D= BxB/A