Elementi di Euclide

Prop.19: Dati tre numeri, investigare quando è possibile trovare un loro quarto proporzionale

Dimostrazione

Siano A, B, C i tre numeri dati e si debba investigare se è possibile trovare un loro quarto proporzionale.

Ora o non sono in proporzione continua e i loro estremi sono primi tra loro[1] oppure sono in proporzione continua e i loro estremi non sono primi tra loro[2], oppure non sono nè in proporzione continua e nemmeno i loro estremi sono primi tra loro[3], oppure sono sia in proporzione continua sia i loro estremi sono primi tra loro[4].

[1] Se A, B, C sono in proporzione continua e i loro estremi A, C sono primi tra loro, è stata mostrata l'impossibilità di trovare un loro quarto proporzionale (Prop.9-17).

[2] Ora A, B, C non siano in proporzione continua e i loro estremi A e C siano primi tra loro: dico che anche così è impossibile trovare un loro quarto proporzionale.

Se infatti è possibile, allora si trovi un certo numero D, così che A sta a B come C sta a D; e B sta a C come D sta a E. Ma poiché A sta a B come B sta a C e B sta a C come D sta a E, tramite uguale, anche A sta quindi a C come C sta a E.

Ma A e C sono primi tra loro, e i primi sono anche minimi (Prop.7-21), e i numeri minimi misurano quelli che hanno lo stesso rapporto, sia l'antecedente l'antecedente che il conseguente il conseguente (Prop.7-20). A misura quindi C come l'antecedente misura l'antecedente. Ma misura anche se stesso; A misura quindi A e C, che sono primi tra loro, il che è impossibile. Non è quindi possibile trovare un quarto proporzionale di A, B, C.

[3] Ma ora, di nuovo, A, B, C siano in proporzione continua e gli estremi A, C non siano primi tra loro: dico che è possibile trovare un loro quarto proporzionale.

Infatti B moltiplicato C produce D. Pertanto A o misura D oppure no. In primo luogo, lo misuri secondo il numero E. Pertanto A moltiplicato E produce D. Ma anche B moltiplicato C produce D; il prodotto tra A ed E è quindi uguale al prodotto tra B e C. In proporzione quindi A sta a B come C sta a E. Risulta quindi trovato il quarto proporzionale, E, dei numeri A, B, C.

Ora A non misuri D: dico che è impossibile trovare un quarto proporzionale di A, B, C. Se infatti possibile, sia E. Il prodotto tra A ed E è quindi uguale al prodotto tra B e C. Ma B moltiplicato C produce D; pertanto il prodotto tra A ed E è uguale a D. Ma A moltiplicato E produce D, ed A misura quindi D secondo E, così che A misura D. Ma anche non lo misura, il che è assurdo. Non è quindi possibile trovare un quarto proporzionale di A, B, C quando A non misura D.

[4] Ma ora A, B, C non siano né in proporzione continua né gli estremi A, C siano primi tra loro. B moltiplicato per C produce D. Analogamente si dimostra che, se A misura D, è possibile trovare un loro quarto proporzionale, se invece non lo misura, allora è impossibile.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
• Segmento: disegna i segmenti A, B
• Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti C = BxB/A; D= BxC; E = BxC/A