LIBRO VIII
Prop.15: Se un numero cubo misura un numero cubo, allora anche il lato misura il lato; e, se il lato misura il lato, allora anche il cubo misura il cubo
Dimostrazione
Il numero cubo A misuri il cubo B, e siano C e D i loro lati: dico che C misura D.
C moltiplicato per se stesso produce E, e D moltiplicato per se stesso produce G, e C moltiplicato per D per F, e moltiplicando C e D per F si produce rispettivamente H e K.
È pertanto manifesto che E, F, G (Prop.8-11) e A, H, K, B sono in proporzione continua nel rapporto di C con D (Prop.8-12). E poiché A, H, K, B sono in proporzione continua e A misura B e G allora misura anche H (Prop.8-7).
Ma A sta a H come C sta a D, pertanto anche C misura D.
Ma ora C misuri D: dico che anche A misura B.
Con la stessa costruzione, si dimostra in modo simile che A, H, K, B sono in proporzione continua nel rapporto di C con D. E poiché C misura D, e C sta a D come A sta a H, pertanto anche A misura H, così che anche A misura B.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti C, D
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti A = CxCxC; B = DxDxD
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = CxC; G = DxD; F = CxD;
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti H = CxF; K = DxF
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.8-17.