LIBRO VIII
Prop.14: Se un numero quadrato misura un numero quadrato, allora anche il lato misura il lato; e, se il lato misura il lato, allora anche il quadrato misura il quadrato
Dimostrazione
Siano A e B i numeri quadrati, e siano C e D i loro lati, e A misuri B: dico che anche C misura D.
C moltiplicato per D produce E. Allora A, E, B sono in proporzione continua nel rapporto di C con D.
E poiché A, E, B sono in proporzione continua, e A misura B, allora A misura anche E (Prop.8-7) e A sta a E come C sta a D, pertanto C misura D.
Ora, di nuovo, C misuri D: dico che anche A misura B.
Con la stessa costruzione, si può dimostrare in modo simile che A, E, B sono in proporzione continua nel rapporto di C con D. E poiché C sta a D come A sta a E, e C misura D, allora A misura anche E (Def.7-20). E sono A, E, B in proporzione continua, pertanto A misura anche B.
Se, quindi, un numero quadrato misura un numero quadrato, allora anche il lato misura il lato; e, se il lato misura il lato, allora anche il quadrato misura il quadrato.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti C, D
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti A = CxC; B = DxD
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = CxD
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.8-16.