LIBRO VIII
Prop.13: Se vi sono quanti si vuole numeri in proporzione continua, e ognuno moltiplicato con se stesso produce un certo numero, allora i prodotti sono in proporzione; e, se i numeri in origine moltiplicati per i prodotti producono certi numeri, allora anche essi sono in proporzione
Dimostrazione
Siano quanti si voglia numeri A, B, C in proporzione continua, così che A sta a B come B sta a C. I numeri A, B , C moltiplicati per se stessi producano D, E, F e moltiplicati per D, E, F producano G, H, K: dico che D, E, F G, H, K sono in proporzione continua.
A moltiplicato per B produce L, e A e B moltiplicati per L producono rispettivamente M e N. Anche B moltiplicato per C produce O, e i numeri B e C moltiplicati per O producono rispettivamente P e Q.
Del tutto similmente a quanto sopra si può dimostrare che D, L, E e G, M, N, H sono in proporzione continua nel rapporto di A con B, e inoltre E, O, F e H, P, Q, K sono in proporzione continua nel rapporto di B con C.
Ora A sta a B come B sta a C, pertanto anche D, L, E sono nello stesso rapporto con E, O, F e inoltre G, M, N, H nello stesso rapporto con H, P, Q, K. E la molteplicità di D, L, E è uguale alla molteplicità di E, O, F e quella di G, M, N, H a quella di H, P, Q, K, pertanto, tramite uguale, D sta a E come E sta a F, e G sta a H come H sta a K. (Prop.7-14).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato raggio: traccia il segmento C = BxB/A
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti D = AxA; E = BxB; F = CxC;
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti G = AxD; H = BxE; K = CxF;
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti L = AxB; M = AxL; N = BxL; O = BxC; P= BxO; Q = CxO
Questa proposizione afferma che se i termini di una proporzione continua sono quadrati o cubi, allora le sequenze di numeri risultanti sono pure in proporzione continua.
Supponiamo di avere la proporzione continua formata da: \(a, b, c\). Si possono allora formare due nuove sequenze
\(a^2, ab, b^2\), \(bc, c^2\) e \(a^3, a^2b, ab^2\), \(ba^2, b^2c, bc^2, c^3\)
Ognuna di queste è in proporzione continua con lo stesso rapporto della sequenza assegnata.