LIBRO VIII
Prop.12: Tra due numeri cubi vi sono due numeri medi proporzionali, e il cubo ha con il cubo il rapporto triplicato che il lato ha con il lato
Dimostrazione
Siano A e B i numeri cubi, e sia C il lato di A e D di B: dico che tra A e B vi sono due medi proporzionali, e che A ha con K il rapporto triplicato di quello che C ha con D.
C moltiplicato con se stesso produce E, e con D produce F; D moltiplicato con se stesso produce G, e moltiplicando C e D con F si produce rispettivamente H e K.
E poiché A è un cubo, e C il suo lato, e C moltiplicato per se stesso produce E, allora C moltiplicato per se stesso produce E e moltiplicato per E produce A. Per gli stessi motivi anche D moltiplicato per se stesso produce G e moltipplicato per G produce B.
E poiché C moltiplicato per i numeri C e D produce rispettivamente E e F, allora C sta a D come E sta a F (Prop.7-17). Per gli stessi motivi anche C sta a D come F sta a G. Di nuovo, poiché C moltiplicato per i numeri E e F produce rispettivamente A e H, allora E sta a F come A sta a H. Ma E sta a F come C sta a D. Pertanto C sta a D come A sta a H (Prop.7-18).
Di nuovo, poiché i numeri C e D moltiplicati per F producono rispettivamente H e K, allora C sta a D come H sta a K (Prop.7-18). E poiché D moltiplicato per ognuno dei numeri F e G produce rispettivamente K e B, allora F sta a G come K sta a B (Prop.7-17).
Ma F sta a G come C sta a D, pertanto C sta a D come A sta a H, come H sta a K, e come K sta a B. Pertanto H e K sono due medi proporzionali tra A e B.
Dico ora che anche A ha con B il rapporto triplicato di quello che C ha con D.
Poiché A, H, K, B sono quattro numeri in proporzione, allora A ha con B il rapporto triplicato di quello che A ha con H. Ma A sta a H come C sta a D, pertanto anche A ha con B il rapporto triplicato di quello che C ha con D.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le rette sulle quali collocare i segmenti
- Segmento: disegna i segmenti C, D
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti E = CxC; F = CxD; G = DxD; H = CxF; K = DxF
- Circonferenza di dato raggio: traccia i segmenti A = CxCxC; B = DxDxD
Questa proposizione è utilizzata nella Prop.8-15.