Elementi di Euclide

Prop.33: Nei cerchi uguali gli angoli hanno lo stesso rapporto degli archi sui cui insistono, sia qualora insistano sui centri sia sulle circonferenze

Dimostrazione

Siano ABC e DEF cerchi uguali, e siano gli angoli BGC e EHF sui loro centri G e H, e gli angoli BAC e EDF sulle loro circonferenze: dico che l'arco BC sta all'arco EF come l'angolo BGC sta all'angolo EHF, e come l'angolo BAC sta all'angolo EDF.

Si prenda quanti mai si voglia di seguito archi CK e KL uguali all'arco BC, e quanti mai si voglia di seguito archi FM, MN uguali all'arco EF, e si congiungano GK, GL, HM, HN.

E poiché gli archi BC, CK, KL sono uguali tra loro, anche gli angoli BGC, CGK, KGL sono uguali tra loro. Quante volte multiplo è quindi l'arco BL di BC, tante volte multiplo è anche l'angolo BGL dell'angolo BGC (Prop.3-27). Per gli stessi motivi, quante volte multiplo l'arco NE è di EF, tante volte multiplo è l'angolo NHE dell'angolo EHF.

Se l'arco BL è uguale all'arco EN, allora anche l'angolo BGL è uguale all'angolo EHN; se l'arco BL è maggiore dell'arco EN, allora anche l'angolo BGL è maggiore dell'angolo EHN; e se minore, minore (Prop.3-27).

Essendo pertanto state prese quattro grandezze, due archi BC, EF, e due angoli BGC, EHF, equimultipli dell'arco BC e dell'angolo BGC, sia l'arco BL che l'angolo BGL, e dell'arco EF e dell'angolo EHF. Ed è stato dimostrato che, se l'arco BL eccede l'arco EN, anche l'angolo BGL eccede l'angolo EHN; se uguale, uguale; e se minore, minore. L'arco BC sta quindi a EF come l'angolo BGC sta all'angolo EHF (Def.5-5).

Ma l'angolo BGC sta all'angolo EHF come l'angolo BAC sta all'angolo EDF (Prop.5-15), sono infatti rispettivamente doppi (Prop.3-20). Anche l'arco BC sta quindi all'arco EF come l'angolo BGC sta all'angolo EHF, e l'angolo BAC all'angolo EDF.

Nei cerchi uguali gli angoli hanno quindi lo stesso rapporto degli archi sui cui insistono, sia qualora insistano sui centri sia sulle circonferenze.

La costruzione con GeoGebra:

• Circonferenza: disegna la circonferenza di centro G e un suo raggio AG
• Compasso: disegna la circonferenza di centro H e raggio uguale a AG
• Settore Circolare: disegna i setori BGC e EHF
• Angolo di data Ampiezza: disegna i settori CGK e KGL uguali a BGC e i settori FHM e MHN uguali a EHF
• Segmento: disegna i segmenti AB, AC, DE e DF

Questa proposizione si discosta dalle altre del Libro VI, poiché non dipende da nessuna di esse. Essa è simile alla Prop.6-1 che introduce una proporzione tra linee e figure piane, mentre in questo caso la proporzione è tra angoli e archi.

Questa proposizione è utilizzata nel Libro XIII.