Elementi di Euclide

Prop.32: Se due triangoli aventi due lati proporzionali ai due lati sono composti secondo un solo angolo così da essere i loro lati omologhi anche paralleli, allora i restanti lati dei triangoli sono in linea retta

Dimostrazione

Siano ABC e DCE due triangoli aventi i due lati AB e AC in proporzione ai due lati DC e DE, così che AB sta ad AC come DC sta a DE, e ABè parallelo a DC, e AC parallelo a DE: dico che BC è in linea retta con CE.

Poiché AB è parallelo a DC, e la retta AC incide su di esse, allora gli angoli alterni BAC e ACD sono tra loro uguali (Prop.1-29). Per gli stessi motivi anche l'angolo CDE è uguale all'angolo ACD, così che l'angolo BAC è uguale all'angolo CDE.

E poiché ABC e DCE sono due triangoli aventi un solo angolo, quello in A, uguale a un solo, l'angolo in D, e i lati intorno agli angoli uguali in proporzione, così che AB sta a AC come DC sta a DE, allora il triangolo ABC è equiangolo al triangolo DCE (Prop.6-6). L'angolo ABC è quindi uguale all'angolo DCE.

Ma l'angolo ACD è stato dimostrato uguale all'angolo BAC, pertanto l'angolo ACE totale è uguale alla somma dei due angoli ABC e BAC. Si sommi l'angolo ACB ad entrambi. Allora la somma degli angoli ACE e ACB è uguale alla somma degli angoli BAC, ACB, CBA. Ma la somma degli angoli BAC, ABC, ACB è uguale a due angoli retti; anche la somma degli angoli ACE e ACB è quindi uguale a due retti (Prop.1-32).

Pertanto su una retta AC, e nel punto C su di essa, le due rette BC e CE che non sono poste dalla stessa parte formano gli angoli consecutivi uguali a due retti. Allora BC è in linea retta con CE (Prop.1-14).

Se quindi due triangoli aventi due lati proporzionali ai due lati sono composti secondo un solo angolo così da essere i loro lati onologhi anche paralleli, allora i restanti lati dei triangoli sono in linea retta.

La costruzione con GeoGebra:

• Poligono: disegna il triangolo ABC
• Parallela: disegna la parallela ad AB dal punto C
• Segmento: disegna un segmento CD su tale parallela
• Parallela: disegna la parallela ad AD dal punto D
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di centro D e raggio uguale a ACxCD/AB che interseca la parallela in E
• Poligono: disegna il triangolo CDE

Questa proposizione è utilizzata nella dimostrazione della proposizione 17 del Libro XIII per inscrivere un dodecaedro regolare in una sfera.