Elementi di Euclide

Prop.8: Se due rette sono parallele, e una di esse è ad angoli retti con un certo piano, allora anche la restante è ad angoli retti con lo stesso piano

Dimostrazione

Siano AB, CD due rette parallele e sia una di esse, EF, ad angoli retti con il piano di riferimento: dico che anche la restante CD è ad angoli retti con lo stesso piano.

AB, CD si incontrino con il piano di riferimento nei punti B e D. Si congiunga BD. Allora AB, CD, BD sono in un solo piano (Prop.11-7). Si conduca DE nel piano di riferimento ad angoli retti con BD (Prop.1-11), si prenda DE uguale ad AB, e si congiungano BE, AE, AD.

E poiché AB è ad angoli retti con il piano di riferimento, allora anche AB è ad angoli retti con tutte le rette che incontra e che sono nel piano di riferimento (Def.11-3). Ognuno degli angoli ABD e ABE è quindi retto. E poiché la retta BD incide sulle parallele AB e CD, allora la somma degli angoli ABD e CDB è uguale a due retti (Prop.1-29).

Ma l'angolo ABD è retto, pertanto anche l'angolo CDB è retto. CD è quindi ad angoli retti con BC. E poiché AB è uguale a DE, e BD è in comune, i due lati AB e BD sono uguali ai due lati ED e DB, e l'angolo ABD è uguale all'angolo EDB, sono entrambi retti, pertanto la base AD è uguale alla base BE (Prop.1-4).

E poiché AB è uguale a DE, e BE è uguale a AD, i due lati AB e BE sono uguali ai due lati ED e DA rispettivamente, e AE è la loro base comune; pertanto l'angolo ABE è uguale all'angolo EDA (Prop.1-8). Ma l'angolo ABE è retto, pertanto anche l'angolo EDA è retto. ED è quindi ad angoli retti con AD. Ma lo è anche con DB. Anche ED è quindi ad angoli retti con il piano per BD e DA (Prop.11-4).

Anche ED forma quindi angoli retti con tutte le rette che la incontrano e sono nel piano per BD e DA. Ma DC si trova nel piano per BD e DA proprio come AB e BD sono nel piano per BD e DA, e anche DC è nel piano nel quale sono AB e BD. ED è quindi ad angoli retti con DC, così che anche CD è ad angoli retti con DE. Ma anche CD è ad angoli retti con BD. CD è posto quindi ad angoli retti con le due rette DE e DB così che anche CD è ad angoli retti con il piano per DE e DB (Prop.11-4).

Ma il piano per DE e DB è il piano di riferimento; CD è quindi ad angoli retti con il piano di riferimento.

Se due rette sono quindi parallele, e una di esse è ad angoli retti con un certo piano, allora anche la restante è ad angoli retti con lo stesso piano.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta
• Parallela: completa il piano di riferimento
• Segmento: disegna il triangolo BDE nel piano
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare AB al piano
• Parallela: disegna la parallela ad AB per D
• Segmento: disegna i segmenti CD, AB, AD, AE

Questa proposizione può essere considerata come l'inversa della Prop.11-6. La dimostrazione di tale teorema è basata sulle proprietà delle rette parallele tagliate da trasversali, cioè sul quinto postulato.