LIBRO XI
Prop.7: Se due rette sono parallele e sono presi su una e l'altra di esse punti come capita, allora la retta che congiunge i punti è nello stesso piano delle parallele
Dimostrazione
Siano AB, CD due rette parallele e siano presi su una e l'altra di esse come capita i punti E, F: dico che la retta che congiunge i punti E, F è nello stesso piano delle parallele.
Si supponga di no, ma, se possibile, sia in un piano più in alto come EGF. Si conduca oltre un piano per EGF. La sua intersezione con il piano di riferimento è una retta. Sia EF (Prop.11-3).
Pertanto le due rette EGF e EF comprendono un'area, il che è impossibile. La retta che congiunge E con F non è quindi in un piano più in alto. La retta che congiunge E con F sta quindi nel piano delle parallele AB e CD.
Se due rette sono parallele e sono presi su una e l'altra di esse punti come capita, allora la retta che congiunge i punti è nello stesso piano delle parallele.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Parallela: disegna il segmento CD
- Punto: segna i punti E su AB e F su CD
- Segmento: disegna il segmento EF
- Punto Medio: disegna il punto medio di EF
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare al segmento EF nel punto medio
- Punto: segna un punto sull'asse di EF
- Arco per centro e due punti: traccia l'arco AF
Questa proposizione è usata nella dimostrazione della successiva.