LIBRO XI
Prop.3: Se due piani si secano tra loro, allora la loro intersezione è una retta
Dimostrazione
Due piani AB, BC si sechino tra loro e sia la linea DB la loro intersezione comune: dico che la linea AB è una retta.
Se infatti no, si congiunga la retta DEB da D fino a B nel piano AB, e la retta DFB nel piano BC. Le due rette DEB e DFB avranno quindi gli stessi estremi e comprenderanno chiaramente un'area, il che è assurdo. DEB e DFB non sono quindi rette.
Analogamente si dimostra che non ci sarà nemmeno una certa altra retta congiunta da D fino a B tranne DB, l'intersezione dei piani AB e BC.
Se due piani si secano tra loro, allora la loro intersezione è una retta.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta
- Perpendicolare: disegna una perpendicolare alla retta data
- Parallela: completa il piano rettangolare di vertice A
- Punto: segna il punto D sul lato di vertice A
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare da D alla retta DA che interseca il piano in B
- Segmento: disegna il segmento BD
- Retta: disegna per D una retta CD e per B la parallela a CD
- Parallela: completa il piano CDB
- Punto: segna un punto tale da formare una circonferenza con D e B
- Centro: trova il centro della circonferenza
- Arco: disegna l'arco BED
- Simmetria Assiale: costruisci il simmetrico del centro del cerchio trovato rispetto a BD
- Arco: disegna l'arco BFD
Questa proposizione viene anche enunciata dicendo che, se due piani hanno in comune un punto, allora hanno in comune la retta che passa per quel punto. Nella dimostrazione è sotteso un postulato che dovrebbe stabilire che due rette non possono comprendere un'area, cioè che per due punti passa una e una sola retta.