LIBRO XI
Prop.10: Se due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora esse comprendono angoli uguali
Dimostrazione
Siano AB, BC due rette che si toccano tra loro parallele a due rette DE, EF che si toccano tra loro non nello stesso piano: dico che l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF.
Si stacchino BA, BC, ED, EF uguali tra loro, e si congiungano AD, CF, BE, AC, DF (Prop.1-3). E poiché BA è uguale a parallela a ED, allora anche AD è uguale e parallela a BE. Per lo stesso motivo anche CF è uguale e parallela a BE (Prop.1-33).
Ognuna delle rette AD e CF è quindi uguale e parallela a BE. Ma rette che sono parallele alla stessa retta e non sono nel suo stesso piano sono parallele tra loro; AD è quindi parallela e uguale a CF (Prop.11-9). E le congiungono AC e DF, pertanto anche AC è uguale e parallela a DF (Prop.1-33).
E poiché due rette AB e BC sono uguali a due rette DE e EF, e la base AC è uguale alla base DF, allora l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF (Prop.1-8).
Se quindi due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora esse comprendono angoli uguali.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- Parallela: completa il piano di riferimento
- Traslazione: disegna il secondo piano
- Poligono: disegna il triangolo ABC
- Punto: segna il punto D nel secondo piano
- Segmento: disegna il segmento AD
- Parallela: disegna le parallele per D ai lati AB e AC del triangolo e al segmento AD
- Poligono: disegna il triangolo DEF
- Segmento: disegna i segmenti BE, CF
Questa proposizione utilizza nella dimostrazione il teorema del Libro I per il quale un quadrilatero avente due lati uguali e paralleli è un parallelogrammo, e tale teorema utilizza, a sua volta, il postulato delle parallele.