Elementi di Euclide

Prop.11: Condurre dal punto alto dato una linea retta perpendicolare al piano dato

Dimostrazione

Sia dato A il punto alto e sia il piano di riferimento il piano dato: si deve pertanto condurre dal punto A una linea retta perpendicolare al piano di riferimento.

Si conduca oltre una certa retta BC come capita nel piano di riferimento, e si conduca AD dal punto A perpendicolare a BC (Prop.1-12). Se AD è anche perpendicolare al piano di riferimento, allora risulta quanto prescritto.

Se invece no, si conduca DE dal punto D ad angoli retti con BC e nel piano di riferimento (Prop.1-11), si conduca AF da A perpendicolare a DE (Prop.1-12), e GH per il punto F parallela a BC (Prop.1-31).

E poiché BC è ad angoli retti con ognuna delle rette DA e DE, allora anche BC è ad angoli retti con il piano per ED e DA (Prop.11-4). E GH è parallela ad essa, ma se due rette sono parallele, e una di esse è ad angoli retti anche con un certo piano, allora anche la restante è ad angoli retti con lo stesso piano; anche GH è quindi ad angoli retti con il piano per ED e DA (Prop.11-8).

Anche GH è quindi ad angoli retti con tutte le rette la toccano e sono nel piano per ED e DA (Def.11-3). Ma AF la tocca e si trova nel piano per ED e DA, pertanto GH è ad angoli retti con FA, così che anche FA è ad angoli retti con GH. Ma anche AF è ad angoli retti con DE, pertanto AF è ad angoli retti con ognuna delle rette GH e DE.

Ma se una retta è posta sulla sezione ad angoli retti con due rette che si secano, allora è ad angoli retti anche con il piano per esse. FA è quindi ad angoli retti con il piano per ED e GH (Prop.11-4). Ma il piano per ED e GH è il piano di riferimento, pertanto AF è ad angoli retti con il piano di riferimento.

Risulta quindi condotta dal punto alto dato una linea retta AF perpendicolare al piano soggiacente dato.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
• Parallela: completa il piano di riferimento
• Punto: segna il punto A esterno al piano
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare per A al piano che lo interseca in F
• Segmento: disegna i segmenti BC e AD
• Segmento: disegna il segmento DE passante per F
• Parallela: disegna la parallela GH per F al segmento BC

Nella dimostrazione, prima di poter tracciare la retta AD dal punto A perpendicolare alla retta BC, è necessario sapere che il punto e la retta appartengono allo stesso piano. Un tale piano può essere caratterizzato prendendo la retta BC e una retta da A a un qualsiasi punto su BC poiché due rette che si intersecano determinano un piano (XI.2).

La costruzione in questa proposizione è frequentemente usata negli utlimi Libri degli Elementi.