LIBRO XI
Prop.29: Solidi parallelepipedi che sono sulla stessa base e sotto la stessa altezza, e nei quali i lati che stanno su sono sulle stesse rette, sono uguali tra loro
Dimostrazione
Siano i solidi parallelepipedi CM, CN sulla stessa base AB e sotto la stessa altezza, dei quali i lati che stanno su AG, AF, LM, CD, CE, BH, BK sono sulle stesse rette FN, DK: dico che il solido CM è uguale al solido CN.
Poiché ognuna delle figure CH e CK è un parallelogrammo, allora CB è uguale ad ognuna delle rette DH, EK. Anche DH è quindi uguale a EK (Prop.1-34).
Si sottragga EH da ambedue, pertanto DE restante è uguale a HK restante. Anche il triangolo DCE è quindi uguale al triangolo HBK (Prop.1-8, Prop.1-4), e il parallelogrammo DG è uguale al parallelogrammo HN. Per gli stessi motivi il triangolo AFG è uguale al triangolo MLN (Prop.1-36).
Ma il parallelogramma CF è uguale al parallelogramma BM, e CG è uguale a BN, è infatti opposto (Prop.1-24), pertanto il prisma compreso dai due triangoli AFG e DCE e dai tre parallelogrammi AD, DG, CG è uguale al prisma compreso dai due triangoli MLN e HBK e dai tre parallelogrammi BM, HN, BN.
Si sommi ad ognuno dei solidi di cui il parallelogrammo AB è la base e GEHM il suo opposto, pertanto il solido parallelepipedo CM totale è uguale al solido parallelepipedo totale CN.
Solidi parallelepipedi che sono sulla stessa base e sotto la stessa altezza, e nei quali i lati che stanno su sono sulle stesse rette, sono quindi uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette incidenti
- Parallele: completa il parallelogrammo AB
- Traslazione: disegna il secondo parallelogrammo FH
- Segmento: disegna i segmenti che completano il solido
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari a AL da C, A, B, L
- Parallela: completa il solido AH
Questa proposizione introduce il primo passo per il calcolo del volume dei parallelepipedi.