LIBRO XI
Prop.36: Se tre rette sono in proporzione, allora il parallelepipedo solido che risulta dalle tre è uguale al parallelepipedo solido sulla media che è equilatero e equiangolo con il predetto
Dimostrazione
Siano A, B, C tre rette in proporzione, così che A sta a B come B sta a C: dico che il solido che risulta da A, B, C è uguale a quello su B equilatero e equiangolo al predetto.
Si fissi un angolo solido su E compreso dagli angoli DEG, GEF, FED, e si ponga ciascuna delle rette DE, GE, EF uguali a B. Si completi il parallelepipedo solido EK. Si prenda LM uguale ad A e si costruisca sulla retta LM e sul punto L su di essa un angolo solido compreso, uguale a quello su E (Prop.11-23), cioè quello compreso da NLO, OLM, MLN. Si prenda LO uguale a B, e LN uguale a C (Prop.1-3).
E poiché A sta a B come B sta a C, e A è uguale a LM, B è uguale ad ognuna delle rette LO, ED, e C a LN, allora LM sta a EF come DE sta a LN. Ma intorno agli angoli uguali NLM, DEF i lati sono in proporzione inversa, pertanto il parallelogrammo MN è uguale al parallelogrammo DF (Prop.6-14).
E poiché gli angoli DEF, NLM sono due angoli rettilinei piani, e su di essi stanno rette alte LO, EG che sono uguali tra loro e comprendono angoli uguali con le rette in origine, allora le perpendicolari condotte dai punti G, O ai piani per NL, LM e per DE, EF sono uguali tra loro (Prop.11-35-Cor); i solidi LH, EK sono quindi sotto la stessa altezza.
Ma solidi parallelepipedi su basi uguali e sotto la stessa altezza sono uguali tra loro, pertanto il solido HL è uguale al solido EK (Prop.11-31).
E LH è il solido che risulta da A, B, C, e EK è il solido su B, pertanto il solido parallelepipedo che risulta da A, B, C è uguale al solido su B che è equilatero e equiangolo al solido predetto.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta
- Parallela: disegna due rette parallele a quella precedente
- Segmento: disegna i segmenti A, B
- Circonferenza di dato centro: disegna il segmento C = BxB/A
- Parallela: disegna la retta LM
- Compasso: disegna il segmento LM = A e EF = B
- Semiretta: disegna le semirette DE, EG
- Compasso: disegna il segmento ED = B e il segmento EG una parte di B (per la profondità)
- Parallela: completa il solido EK
- Parallela: disegna da L le parallele a DE e EG
- Compasso: disegna i segmenti LO = B e LN = C
- Parallela: completa il solido LH