Elementi di Euclide

Prop.23: Per costruire un angolo solido da tre angoli piani tali che la somma di due qualsiasi è maggiore di quello restante: ocorre pertanto che la somma dei tre angoli sia minore di quattro retti

Dimostrazione

Siano ABC, DEF, GHK tre angoli piani, la somma di due dei quali è maggiore del restante, e inoltre la somma di tutti e tre sia minore di quattro retti: si deve pertanto costruire un angolo solido dagli angoli uguali a ABC, DEF, GHK.

Siano staccate AB, BC, DE, EF, GH, HK uguali tra loro, e si congiunga AC, DF, GK (Prop.1-3). è quindi possibile costruire un triangolo dalle rette uguali a AC, DF, GK (Prop.11-22). Si costruisca LMN così che AC sia uguale a LM, DF uguale a MN, e GK uguale a NL.

Si circoscriva il cerchio LMN al triangolo LMN (Prop.4-5), e si prenda come centro O (Prop.3-1), e siano congiunte LO, MO, NO. Dico che AB è maggiore di LO.

Se no, AB sia o uguale a LO, oppure minore. Sia in primo luogo uguale. Allora, poiché AB è uguale a LO, ma AB è uguale a BC, e LO uguale a OM, allora i due lati AB e BC sono uguali ai due lati LO e OM rispettivamente. Ed è stato supposto che la base AC è uguale alla base LM, pertanto l'angolo ABC è uguale all'angolo LOM (Prop.1-8).

Per gli stessi motivi anche l'angolo DEF è uguale all'angolo MON, e l'angolo GHK è uguale all'angolo NOL. La somma dei tre angoli ABC, DEF, GHK è quindi uguale alla somma dei tre angoli LOM, MON, NOL. Ma la somma dei tre angoli LOM, MON, NOL è uguale a quattro retti, pertanto la somma dei tre angoli ABC, DEF, GHK è uguale a quattro retti. Ma la somma è stata supposta anche essere minore di quattro retti, il che è assurdo. AB non è quindi uguale a LO.

Dico ora che AB non è neppure minore di LO.

Se possibile, lo sia. Si prenda OP uguale a AB, e OQ uguale a BC, e si congiunga PQ (Prop.1-3). Allora, poiché AB è uguale a BC, anche OP è uguale a OQ, così come la rimanente LP è uguale a QM. LM è quindi parallela a PQ (Prop.6-2), e LMO è equiangolo con PQO (Prop.1-29). OL sta quindi a LM come OP sta a PQ (Prop.6-4), e alternando, LO sta a OP come LM sta a PQ (Prop.5-16).

Ma LO è maggiore di OP, quindi LM è maggiore di PQ. Ma LM è uguale a AC, pertanto AC è maggiore di PQ. Poiché i due lati AB e BC sono uguali ai due lati PO e OQ, e la base AC è maggiore della base PQ, allora l'angolo ABC è maggiore dell'angolo POQ (Prop.1-25). Analogamente si dimostra che anche l'angolo DEF è maggiore dell'angolo MON, e che l'angolo GHK è maggiore dell'angolo NOL.

Analogamente si dimostra che anche l'angolo DEF è maggiore dell'angolo MON, e l'angolo GHK è maggiore dell'angolo NOL. Ed è stato dimostrato che non è neppure uguale; AB è quindi maggiore di LO.

Sia ora posta OR dal punto O ad angoli retti al piano del cerchio LMN (Prop.11-12) così che il quadrato su OR sia uguale al quadrato su AB meno il quadrato su LO. Si congiunga RL, RM, RN.

E poiché RO è ortogonale al piano del cerchio LMN, allora anche RO è ortogonale ad ognuna delle rette LO, MO, NO (Def.11-3). E poiché LO è uguale a OM, e OR è in comune e ad angoli retti, allora la base RL è uguale alla base RM (Prop.1-4). Per gli stessi motivi anche RN è uguale ad ognuna delle rette RL, RM. Le tre rette RL, RM, RN sono quindi uguali tra loro.

Di nuovo, poiché è stato supposto che il quadrato OR sia uguale alla differenza tra il quadrato su AB e il quadrato LO, allora il quadrato su AB è uguale alla somma dei quadrati su LO e OR. Ma il quadrato su LR è uguale alla somma dei quadrati su LO e OR (Prop.1-47), l'angolo LOR è infatti retto, pertanto il quadrato su AB è uguale al quadrato su RL. AB è quindi uguale a RL.

Ma ognuna delle rette BC, DE, EF, GH, HK è uguale a AB, e ognuna delle rette RM, RN è uguale a RL, pertanto ognuna delle rette AB, BC, DE, EF, GH, HK è uguale a ognuna delle rette RL, RM, RN. Poiché i due lati LR, RM sono uguali ai due lati AB, BC, ed è stato supposto che la base LM è uguale alla base AC, allora l'angolo LRM è uguale all'angolo ABC (Prop.1-8). Per gli stessi motivi l'angolo MRN è uguale all'angolo DEF, e l'angolo LRN è uguale all'angolo GHK.

Da tre angoli piani LRM, MRN, LRN, che sono uguali ai tre angoli dati ABC, DEF, GHK, risulta quindi costruito l'angolo solido su R, che è compreso dagli angoli LRM, MRN, LRN.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta
• Segmento: disegna i segmenti AC e DF appartenenti alla retta
• Punto Medio: segna i punti medi dei segmenti AC e DF
• Perpendicolare: traccia le perpendicolari alla retta dai punti medi
• Punto: segna sulla perpendicolare ad AC un punto B
• Poligono: disegna il triangolo isoscele ABC
• Compasso: disegna la circonferenza di centro D e raggio AB che interseca la perpendicolare al lato DF nel punto E
• Poligono: disegna il triangolo isoscele DEF
• ripetere la procedura appena illustrata per disegnare il triangolo isoscele GHK con i lati obliqui uguali ai precedenti
• Retta: disegna una retta e prendi su di essa il punto L
• Compasso: disegna la circonferenza di centro L e raggio HK che interseca la circonferenza in N
• Compasso: disegna le circonferenze di centro L e N e raggio rispettivamente AC e DF che si intersecanon in M
• Poligono: disegna il triangolo LMN
• Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta al triangolo LMN
• digita Centro[etichetta circonferenza] per individuare il centro O
• Segmento: congiungi il centro con i vertici di LMN
• Punto: segna il punto P sul segmento LO
• Parallela: disegna il segmento PQ parallelo LM
• Circonferenza di raggio dato: disegna il segmento RO = sqrt(ABxAB - LOxLO)
• Segmento: disegna i segmenti LR, MR, NR

Lemma::

Come è possibile prendere il quadrato su OR uguale alla differenza tra il quadrato su AB e quello su LO si può mostrare nel modo seguente.

Si fissino le rette AB, LO, e sia AB la maggiore. Si descriva il semicerchio ABC su AB. Si adatti AC nel semicerchio ABC uguale a LO, che non è maggiore del diametro AB (Prop.4-1). Si congiunga CB. Poiché l'angolo ACB è un angolo nel semicerchio ACB, allora l'angolo ACB è retto (Prop.3-31).

Il quadrato su AB è quindi uguale alla somma dei quadrati su AC e CB (Prop.1-47). Così il quadrato su AB è uguale alla differenza tra il quadrato AC e quello su CB. Ma AC è uguale a LO. Il quadrato su AB è quindi uguale alla differenza tra il quadrato su LO e quello su CB. Se stacchiamo quindi OR uguale a BC, allora il quadrato su AB sarà uguale alla differenza tra il quadrato su LO e quello su OR

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna il segmento AB
• Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza ABC
• Poligono: disegna il triangolo rettangolo inscritto ABC

Questa proposizione mostra, come attraverso le condizioni fissate, sia possibile costruire un angolo diedro in modo univoco.