LIBRO XI
Prop.22: Se vi sono tre angoli piani tali che la somma di due qualsiasi è maggiore di quello restante, e che sono compresi da rette uguali, allora è possibile costruire un triangolo dalle congiungenti le rette uguali
Dimostrazione
Siano ABC, DEF, GHK tre angoli piani, la somma di due dei quali è maggiore del restante, ABC, DEF di GHK, e DEF, GHK di ABC, e ancora GHK, ABC di DEF, e siano uguali le rette AB, BC, DE, EF, GH, HK, e siano congiunte AC, DF, GK: dico che è possibile costruire un triangolo dalle rette uguali a AC, DF, GK, cioè che la somma di due qualsiasi delle AC, DF, GK è maggiore di quella restante.
Se quindi gli angoli ABC, DEF, GHK sono uguali tra loro, allora è manifesto che essendo uguali anche AC, DF, GK (Prop.1-4), sarà possibile costruire un triangolo dalle rette uguali a AC, DF, GK (Prop.1-1).
Se invece no, siano disuguali. Si costruisca l'angolo KHL uguale all'angolo ABC nel punto H sulla retta HK (Prop.1-23). Si prenda HL uguale ad una sola delle rette AB, BC, DE, EF, GH, HK (Prop.1-3). Si congiunga KL e GL.
E poiché i due lati AB e BC sono uguali ai due lati KH e HL, e l'angolo in B uguale all'angolo KHL, allora la base AC è uguale alla base KL (Prop.1-4). E poiché la somma degli angoli ABC e GHK è maggiore dell'angolo DEF, mentre l'angolo ABC è uguale all'angolo KHL, allora l'angolo GHL è maggiore dell'angolo DEF.
E poiché i due lati GH, HL sono uguali ai due lati DE, EF, e l'angolo GHL è maggiore dell'angolo DEF, allora la base GL è maggiore della base DF (Prop.1-24). Ma la somma di GK e KL è maggiore di GL. Pertanto la somma di GK e KL è molto maggiore di DF. Ma KL è uguale ad AC, pertanto la somma di AC e GK è maggiore della retta restante DF.
Analogamente si dimostra che la somma di AC e DF è maggiore di GK, e inoltre, che la somma di DF e GK è maggiore di AC, è possibile quindi costruire un triangolo dalle rette uguali a AC, DF, GK.
La costruzione con GeoGebra:
- Poligono: disegna i triangoli ABC,DEF, GHK
- Angolo: segna l'angolo ABC
- Angolo di misura data: trasporto l'angolo ABC in KHL
- Segmento: disegna i segmenti HL, KL, GL
Questa costruzione è il primo passo per costruire un angolo solido dati tre angoli piani, nella proposizione successiva.