LIBRO XI
Prop.35: Se vi sono due angoli piani uguali, e sui loro vertici stanno su rette alte che comprendono angoli rispettivamente uguali con le rette in origine, e se su quelle alte sono presi punti come capita e da essi perpendicolari ai piani in cui sono le rette in origine sono condotte rette, e dai punti che risultano nei piani fino agli angoli in origine sono congiunte rette, allora esse comprenderanno angoli uguali con quelle alte
Dimostrazione
Siano BAC, EDF due angoli rettilinei uguali e dai punti A, D stiano su rette alte AG, DM che comprendono con le rette in origine angoli rispettivamente uguali, MDE a GAB, MDF a GAC e si prendano su AG, DM punti come capita G, M e si conducano da essi le rette GA, MN perpendicolari ai piani BAC, EDF e concorrano con i piani in N, L e si congiungano LA, ND: dico che l'angolo GAL è uguale all'angolo MDN.
Si prenda AH uguale a DM (Prop.1-3), e si conduca HK per il punto H parallela a GL (Prop.1-31). Poiché GL è perpendicolare al piano per BA e AC, allora anche HK è perpendicolare al piano per BA e AC (Prop.11-8). Si conduca KC, NF, KB, NE dai punti K, N perpendicolari alle rette AC, DF, AB, DE (Prop.1-12). Si congiungano HC, CB, MF, FE.
Poiché il quadrato su HA è uguale alla somma dei quadrati su HK e KA, e la somma dei quadrati su KC e CA è uguale al quadrato su KA, allora il quadrato su HA è uguale alla somma dei quadrati su HK, KC, CA (Prop.1-47). Ma il quadrato su HC è uguale alla somma dei quadrati su HK e KC, allora il quadrato su HA è uguale alla somma dei quadrati su HC e CA. L'angolo HCA è quindi retto (Prop.1-48). Per gli stessi motivi anche l'angolo DFM è retto.
L'angolo ACH è quindi uguale all'angolo DFM. Ma l'angolo HAC è uguale all'angolo MDF. MDF e HAC sono quindi due triangoli che hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli, e un lato uguale a un lato, cioè quello che si tende sotto uno solo degli angoli uguali, cioè HA uguale a MD, pertanto anche essi hanno i lati rimanenti uguali ai rispettivi lati rimanenti. AC è quindi uguale a DF (Prop.1-26).
In modo analogo si dimostra che anche AB è uguale a DE. Poiché allora AC è uguale a DF, e AB è uguale a DE, i due lati CA, AB sono uguali ai due lati FD, DE. Ma anche l'angolo CAB è uguale all'angolo FDE, pertanto la base BC è uguale alla base EF, il triangolo uguale al triangolo, e gli angoli rimanenti agli angoli rimananenti. L'angolo ACB è quiindi uguale all'angolo DPE (Prop.1-4).
Ma l'angolo retto ACK è uguale all'angolo retto DFN, pertanto l'angolo restante BCK è uguale all'angolo restante EFN. Per gli stessi motivi anche l'angolo CBK è uguale all'angolo FEN. BCK e EFN sono quindi due triangoli che hanno due angoli uguali a due angoli, e un lato uguale a un lato, quello adiacente agli angoli uguali, BC uguale a EF, pertanto i lati restanti sono uguali ai lati restanti. CK è quindi uguale a FN (Prop.1-26).
Ma anche AC è uguale a DF, pertanto i due lati AC, CK sono uguali ai due lati DF, FN, ed essi comprendono angoli retti. La base AK è quindi uguale alla base DN (Prop.1-4). E poiché AH è uguale a DM, allora il quadrato su AH è uguale al quadrato su DM.
Ma la somma dei quadrati su AK, KH è uguale al quadrato su AH, l'angolo AKH è infatti retto, e la somma dei quadrati su DN, NM è uguale al quadrato su DM, DNM è infatti retto, allora la somma dei quadrati su AK, KH è uguale alla somma dei quadrati su DN, NM (Prop.1-47). E di questi il quadrato su AK è uguale al quadrato su DN, allora il quadrato restante su KH è uguale al quadrato su NM. HK è quindi uguale a MN.
E poiché i due lati HA, AK sono uguali ai due lati MD, DN, e la base HK è uguale alla base MN, allora l'angolo HAK è uguale all'angolo MDN (Prop.1-8).
Qualora quindi siano due angoli piani uguali e quello che segue dell'enunciato.
Corollario: Da questo è pertanto manifesto che, se vi sono due angoli piani uguali, e se su di essi stanno rette alte uguali che comprendono con le rette in origine angoli rispettivamente uguali, allora le perpendicolari condotte da esse ai piani in cui sono le rette in origine sono uguali tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta e Parallela: disegna il piano di riferimento
- Semiretta: disegna l'angolo ABC
- Parallela: disegna l'angolo EDF di vertice D uguale a ABC
- Segmento: disegna il segmento AG
- Parallela: disegna la parallela DM a AG di modo che BAG = EDM
- Angolo: disegna gli angoli GAB = MDE e GAC = MDF
- Perpendicolare: disegna le perpendicolari GL e MN al piano e AL e DA alle due perpendicolari
- Compasso: disegna il segmento AH = DM
- Perpendicolare: disegna il segmento HK perpendicolare a AL
- Segmento: disegna i segmenti BK, CK, BH, MF, EN