Elementi di Euclide

Prop.34: Solidi parallelepipedi che sono su basi uguali e sotto la stessa altezza sono uguali tra loro

Dimostrazione

Siano AB, CD solidi parallelepipedi uguali: dico che le basi dei solidi parallelepipedi AB, CD sono in relazione inversa alle altezze, cioè la base EH sta alla base NQ come l'altezza del solido CD sta all'altezza del solido AB.

In primo luogo, i lati che stanno su, cioè AG, EF, LB, HK, CM, NO, PD, QR, siano ad angoli retti rispetto alle loro basi: dico che la base EH sta alla base NQ come CM sta a AG.

Se dunque la base EH è uguale alla base NQ, e il solido AB è uguale al solido CD, allora CM è uguale a AG. I solidi parallelepipedi sotto la stessa altezza stanno tra loro infatti come le basi, e la base EH sta a NQ come CM sta a AG, ed è chiaro che nei solidi parallelepipedi AB e CD le basi sono in propozione inversa alle altezze (Prop.11-32).

Sia ora la base EH non uguale alla base NQ, e sia EH la maggiore. Il solido AB è quindi uguale al solido CD, pertanto anche CM è maggiore di AG. Si prenda CT uguale a AG (Prop.1-3) e si completi il parallelepipedo solido VC su NQ come base con CT come altezza (Prop.1-31). E poiché il solido AB è uguale al solido CD, e CV è esterno ad esso, e le grandezze uguali rispetto alla stessa hanno lo stesso rapporto (Prop.5-7), allora il solido AB sta al solido CV come il solido CD sta al solido CV.

Ma il solido AB sta al solido CY come la base EH sta alla base NQ, i solidi AB e CV hanno infatti la stessa altezza (Prop.11-32), e il solido CD sta al solido CV come la base MQ sta alla base TQ come CM sta a CT (Prop.11-25), allora la base EH sta alla base NQ come MC sta a CT (Prop.6-1). Ma CT è uguale a AG, pertanto la base EH sta alla base NQ come MC sta a AG. Nei parallelepipedi solidi AB, CD le basi sono quindi in proporzionalità inversa alle altezze.

Di nuovo, nei solidi parallelepipedi AB, CD siano le basi in proporzionalità inversa alle altezze, cioè la base EH stia alla base NQ, così come l'altezza del solido CD sta all'altezza del solido AB: dico che il solido AB è uguale al solido CD.

Siano i lati che stanno su ad angoli retti con le basi. Se la base EH è uguale alla base NQ, e la base EH sta alla base NQ come l'altezza del solido CD sta all'altezza del solido AB, allora anche l'altezza del solido CD è uguale all'altezza del solido AB. Ma solidi parallelepipedi su basi uguali e sotto la stessa altezza sono uguali tra loro (Prop.11-31), allora il solido AB è uguale al solido CD.

Sia ora la base EH non uguale alla base NQ, ma sia EH maggiore. Allora anche l'altezza del solido CD è maggiore dell'altezza del solido AB, cioè, CM è maggiore di AG. Si ponga di nuovo CT uguale a AG (Prop.1-3), e si completi il solido CV (Prop.1-31).

Poiché la base EH sta alla base NQ come MC sta a AG, e AG è uguale a CT, allora la base EH sta alla base NQ come CM sta a CT. Ma la base EH sta alla base NQ come il solido AB sta al solido CV, i solidi AB e CV sono infatti di uguale altezza (Prop.11-32), e CM sta a CT come la base MQ sta alla base QT (Prop.6-1) e come il solido CD sta al solido CV (Prop.11-25).

Il solido AB sta quindi al solido CV come il solido CD sta al solido CV. Ognuno dei solidi AB e CD ha quindi con CV lo stesso rapporto. Il solido AB è quindi uguale al solido CD (Prop.5-9).

La costruzione con GeoGebra:

• Retta e Parallela: disegna la base AL
• Perpendicolare: disegna il segmento AG
• Parallela: completa il solido AB
• Segmento: disegna il segmento CN
• Parallela: disegna la base CP
• Perpendicolare: disegna la retta CM
• Circoferenza di raggio dato: disegna CM = AExLExEF/(CNxCQ)
• Parallela: completa il solido CD
• Circoferenza di raggio dato: disegna il segmento CT = AG
• Parallela: completa la base TV

Siano ora i lati che stanno su, FE, BL, GA, HK, ON, DP, MC, RQ, non ad angoli retti con le loro basi. Si conducano le perpendicolari dai punti F, G, B, K, O, M, D, R ai piani per EH, NQ, e concorrano con i piani secondo S, T, U, V, W, X, Y, a. Si completino i solidi FV e Oa: dico che, anche così, se i solidi AB, CD sono uguali, allora le basi sono in proporzione inversa alle altezze, ciè, la base EH sta alla base NQ come l'altezza del solido CD sta all'altezza del solido AB.

La costruzione con GeoGebra:

• strumento Retta e Parallela: disegna la base AK
• strumento Parallela: completa il solido AB
• strumento Perpendicolare: disegna il solido KS avente la stessa base VS e sotto la stessa altezza
• strumento Retta e Parallela: disegna la base Wa
• strumento Circoferenza di raggio dato: disegna YD = area(EH)xh(AB)/Area(Wa)
• strumento Parallela: completa il solido MY
• completa il solido CD

Poiché il solido AB è uguale al solido CD e AB è uguale a BT, sono infatti sulla stessa base FK e sotto la stessa altezza (Prop.11-29), e il solido CD è uguale a DX, sono infatti sulla stessa base RO e sotto la stessa altezza, pertanto anche il solido BT è uguale al solido DX (Prop.11-30).

La base FK sta dunque alla base OR come l'altezza del solido DX sta all'altezza del solido BT. Ma la base FK è uguale alla base EH, e la base OR è uguale alla base NQ, pertanto la base EH sta alla base NQ come l'altezza del solido DX sta all'altezza del solido BT.

Ma i solidi DX, BT e i solidi DC, BA hanno rispettivamente la stessa altezza, pertanto la base EH sta alla base NQ come l'altezza del solido DC sta all'altezza del solido AB. Nei solidi parallelepipedi AB, CD le basi sono quindi in proporzione inversa alle altezze.

Ora di nuovo nei solidi parallelepipedi AB, CD le basi siano in proporzione inversa alle altezze, cioè, come la base EH sta alla base NQ, così come l'altezza del solido CD stia all'altezza del solido AB: dico che il solido AB è uguale al solido CD.

Effettuate infatti le stesse costruzioni, poiché la base EH sta alla base NQ come l'altezza del solido CD sta all'altezza del solido AB, e la base EH è uguale alla base FK, e NQ è uguale a OR, allora la base FK sta alla base OR come l'altezza del solido CD sta all'altezza del solido AB. Ma i solidi AB, CD e i solidi BT, DX hanno rispettivamente la stessa altezza, pertanto la base FK sta alla base OR come l'altezza del solido DX sta all'alteza del solido BT.

Nei solidi parallelepipedi BT, DX le basi sono inversamente proporzionali alle altezze. Il solido BT è quindi uguale al solido DX. Ma BT è uguale a BA, sono infatti sulla stessa base FK e sotto la stessa altezza (Prop.11-29), e il solido DX è uguale al solido DC (Prop.11-30). Anche il solido AB è quindi uguale al solido CD.

Solidi simili sono quelli racchiusi da ugual numero di facce simili a due a due.