LIBRO XI
Prop.25: Se un parallelepipedo solido è secato da un piano parallelo ai piani opposti, allora la base sta alla base come il solido sta al solido
Dimostrazione
Il solido parallelepipedo ABCD sia secato con un piano FG che è parallelo ai piani opposti RA, DH: dico che la base AEFV sta alla base EHCF come il solido ABFU sta al solido AGCD.
Si prolunghi AH da una parte e dall'altra e uguali ad AE siano poste quante si voglia rette AK e KL, e quante si voglia HM e MN uguali a EH. Si completino i parallelogrammi LP, KV, HW, MS e i solidi LQ, KR, DM, MT (Prop.1-31).
E poiché le rette LK, KA, AE sono uguali tra loro, allora i parallelogrammi LP, KV, AF sono uguali tra loro, e KO, KB, AG uguali tra loro, e inoltre LX, KQ, AR uguali tra loro, sono infatti opposti. Per gli stessi motivi i parallelogrammi EC, HW, MS sono uguali tra loro, HG, HI, IN uguali tra loro, e inoltre, DH, MY, NT uguali tra loro (Prop.11-24).
I tre piani dei solidi LQ, KR, AU sono quindi uguali a tre piani, quelli opposti, pertanto i tre solidi LQ, KR, AU sono uguali tra loro. Per gli stessi motivi anche i tre solidi ED, DM, MT sono uguali tra loro. Il solido LU è quindi tante volte multiplo del solido AU quante la base LF lo è della base AF. Per gli stessi motivi, il solido NU è tante volte multiplo del solido HU quante la base NF lo è della base FH.
Ma se la base LF è uguale alla base NF, allora anche il solido LU è uguale al solido NU; se la base LF eccede la base NF, allora anche il solido LU eccede il solido NU; e, se fa difetto, allora allora anche l'altro fa difetto.
Essendo pertanto quattro grandezze, le due basi AF e FH, e i due solidi AU e UH, risultano presi equimultipli della base AF e del solido AU, sia la base LF che il solido LU, e della base HF e del solido HU, sia la base NF e il solido NU, ed è stato dimostrato che, se la base LF eccede la base FN, allora anche il solido LU eccede il solido NU; se le basi sono uguali, allora i solidi sono uguali; e se la base è in difetto, allora il solido è in difetto. La base AF sta quindi alla base FH come il solido AU sta al solido UH (Def.5-5).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- Parallela: completa il piano AVCH
- Vettore: disegna il vettore di traslazione
- Traslazione: disegna il secondo piano BRD
- Segmento: disegna i segmenti che completano il solido
- Punto: segna su AH il punto E
- Segmento: disegna i segmenti AE e EH
- Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti AK, KL uguali a AE e HM, HN uguali a EH
- Parallela: completa la figura
Questa proposizione dimostra che se un parallelepipedo viene tagliato da un piano parallelo alle due facce opposte e viene così diviso un due nuovi parallelepipedi, allora i due solidi risultanti stanno tra loro come le rispettive basi. Questa è quindi la prima proposizione che tratta le relazioni tra i volumi dei solidi.