LIBRO XI
Prop.32: Solidi parallelepipedi che sono sotto la stessa altezza stanno tra loro come le loro basi
Dimostrazione
Siano i solidi parallelepipedi AB, CD sotto la stessa altezza: dico che i solidi parallelepipedi AB, CD stanno tra loro come le basi, cioè che il solido AB sta al solido CD come la base AE sta alla base CF.
Si applichi alla retta FG un parallelogrammo FH uguale ad AE (Prop.1-45). E sulla base FH con altezza uguale a quella di CD si completi il solido parallelepipedo GK (Prop.1-31).
Allora il solido AB è uguale al solido GK, sono infatti su basi uguali AE e FH e sotto la stessa altezza (Prop.1-31). E poiché il solido parallelepipedo CK è secato dal piano DG che è parallelo ai piani opposti, allora il solido CD sta al solido DH come la base CF sta alla base FH (Prop.11-25).
Ma la base FH è uguale alla base AE, e il solido GK è uguale al solido AB, pertanto il solido AB sta al solido CD come la base AE sta alla base CF.
Solidi parallelepipedi che sono sotto la stessa altezza stanno quindi tra loro come le loro basi.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta e Parallela: disegna la base AE
- Parallela: completa il solido AB
- Retta e Parallela: disegna la base CF
- Perpendicolare: traccia l'altezza del solido AB e la perpendicolare a CG da C
- Circoferenza di raggio dato: disegna l'altezza del solido CD
- Parallela: completa il solido CD
- Perpendicolare: traccia l'altezza della base AE e l'altezza della base CF
- Circoferenza di raggio dato: disegna il segmento GH = base x altezza(AE)/altezza (CF)
- Parallela: completa il solido HK
Questa completa la sequenza delle generalizzazioni della XI.29. Euclide non ha specificatamente una proposizione corrispondente come "i solidi parallelepipedi con basi uguali stanno tra loro come le loro altezze", ma nelle due proposizioni successive, che dipendono da questa, indaga altre proprietà dei volumi dei parallelepipedi.