LIBRO XI
Prop.33: Solidi parallelepipedi simili sono tra loro in rapporto triplicato rispetto a quello dei lati omologhi
Dimostrazione
Siano AB, CD solidi parallelepipedi simili e sia AE omologo a CF: dico che il solido AB rispetto al solido CD ha rapporto triplicato di quello che AE ha con CF.
Si prolunghino EK, EL, EM in linea retta con AE, GE, HE (Prop.1-3). Si prenda EK uguale a CF, EL uguale a FN, e EM uguale a FR. Si completi il parallelogrammo KL e il solido KP (Prop.1-31).
E poiché i due lati KE, EL sono uguali ai due lati CF, FN, mentre l'angolo KEL è uguale all'angolo CFN, anche l'angolo AEG è infatti uguale all'angolo CFN poiché AB e CD sono solidi simili (Prop.1-15), allora il parallelogrammo KL è uguale e simili al parallelogrammo CN (Prop.6-14). Per gli stessi motivi il parallelogrammo KM è uguale a simile a CR, e EP è uguale e simile a DF.
Tre parallelogrammi del solido KP sono quindi uguali e simili a tre parallelogrammi del solido CD. Ma questi tre sono uguali e simili a tre, quelli opposti, e quei tre sono uguali e simili ai loro opposti (Prop.11-24). Il solido totale KP è quindi uguale e simile al solido totale CD (Prop.11-10). Si completi il parallelogrammo GK, e i solidi EO, LQ sui parallelogrammi GK, KL come basi con la stessa altezza come quella di AB (Prop.1-31).
E poiché i solidi AB e CD sono simili, allora AE sta a CF come EG sta a FN, e come EH sta a FR. Ma CF è uguale a EK, FN è uguale a EL, e FR è uguale a EM, pertanto AE sta a EK come GE sta a EL, e come HE sta a EM (Def.11-9). Ma AE sta a EK come AG sta al parallelogrammo GK, pertanto GE sta a EL come GK sta a KL, e HE sta a EM come QE sta a KM. Pertanto il parallelogrammo AG sta a GK come GK sta a KL, e come QE sta a KM (Prop.6-1).
Ma AG sta a GK come il solido AB sta al solido EO, GK sta a KL come il solido OE sta al solido QL, e QE sta a KM come il solido QL sta al solido KP, pertanto il solido AB sta a EO come EO sta a QL, e come QL sta a KP (Prop.11-32). Ma, se quattro grandezze sono in proporzione continua, allora la prima ha con la quarta il rapporto triplicato di quello che ha con la seconda (Def.5-10), pertanto il solido AB ha con KP il rapporto triplicato di quello che AB ha con EO.
Ma AB sta a EO come il parallelogrammo AG sta a GK, e AE sta a EK; anche il solido AB ha con KP il rapporto triplicato di quello che AE ha con EK (Prop.6-1). Ma il solido KP è uguale al solido CD, e la retta EK è uguale a CF, pertanto anche il solido AB ha con il solido CD il rapporto triplicato di quello che il suo corrispondente lato, AE, ha con il lato correspondente CF.
Solidi parallelepipedi simili sono quindi tra loro in rapporto triplicato rispetto a quello dei lati omologhi.
Corollario: Se quatro rette sono in proporzione continua, allora la prima sta alla quarta come il solido parallelepipedo sulla prima sta al solido parallelepipedo simile e similmente posto sulla seconda, poiché anche la prima ha con la quarta il rapporto triplicato di quello che ha con la seconda.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta e Parallela: disegna la base AE
- Parallela: completa il solido AD
- Segmento: disegna il segmento AE
- Parallela: disegna le parallele per A e E allo spigolo FN
- Circoferenza di raggio dato: disegna EG = AExFN/CF
- Parallela: completa la base AG
- Circoferenza di raggio dato: disegna il segmento BG = AExND/CF
- Parallela: completa il solido AB
- Compasso: disegna EK = CF e EL = FN
- Parallela: completa il parallelogrammo KL e il solido KP
- con le rette già tracciate si completi il parallelogrammo GK e i solidi EO e LQ
Solidi simili sono quelli racchiusi da ugual numero di facce simili a due a due.