LIBRO XI
Prop.31: Solidi parallelepipedi che sono su basi uguali e sotto la stessa altezza sono uguali tra loro
Dimostrazione
Siano i solidi parallelepipedi AE, CF sulla stesse basi AB, CD e sotto la stessa altezza: dico che il solido AE è uguale al solido CF.
In primo luogo, siano i lati che stanno su HK, BE, AG, LM, PQ, DF, CO, RS, ad angoli retti con le basi AB, CD. Si prolunghi in linea retta con CR una retta RT. Si costruisca l'angolo TRU uguale all'angolo ALB sul punto R sulla retta RT (Prop.1-23). Si prenda RT uguale ad AL, e RU uguale a LB (Prop.1-3). Si completi la base RW e il solido XU (Prop.1-31).
E poiché i due lati TR e RU sono uguali ai due lati AL e LB, ed essi comprendono angoli uguali, allora il parallelogrammo RW è uguale e simile al parallelogrammo HL (Prop.6-14). Di nuovo, poiché AL è uguale a RT, e LM a RS, ed essi comprendono angoli retti, allora il parallelogrammo RX è uguale e simile al parallelogrammo AM. Per gli stessi motivi anche LE è uguale e simile a SU.
Tre parallelogrammi del solido AE sono quindi uguali e simili a tre parallelogrammi del solido XU. Ma questi tre sono sia simili sia uguali a quelli opposti, e quei tre a quei tre, quelli opposti (Prop.11-24), pertanto il parallelepipedo solido totale AE è uguale al parallelepipedo solido totale XU (Def.11-10).
Si conducano oltre DR e WU fino ad incontrarsi in Y, si conduca aTb per T parallela a DY, si prolunghi PD secondo a, e si completino i solidi YX e RI (Prop.1-31). Allora il solido XY, di cui il parallelogrammo RX è la base e Yc la sua opposta, è uguale al solido XU, di cui il parallelogrammo RX è la base e UV la sua opposta, sono infatti entrambi sulla stessa base RX e sotto la stessa altezza, e i lati che stanno su, cioè RY, RU, Tb, TW, Se, Sd, Xc, XV, sono sulle stesse rette YW ed eV (Prop.11-29). Ma il solido XU è uguale ad AE, pertanto anche il solido XY è uguale al solido AE.
E poiché il parallelogrammo RUWT è uguale al parallelogrammo YT, sono infatti sulla stessa base RT e tra le stesse parallele RT e YW (Prop.1-35), e RUWT è uguale a CD, poiché lo è anche a AB, pertanto anche il parallelogrammo YT è uguale a CD. Ma DT è un altro parallelogrammo, pertanto la base CD sta a DT come YT sta a DT (Prop.5-7).
E poiché il solido parallelepipedo CI è secato dal piano RF che è parallello ai piani opposti, allora la base CD sta alla base DT come il solido CF sta al solido RI (Prop.11-25). Per gli stessi motivi, poiché il solido parallelepipedo YI è secato dal piano RX che è parallelo ai piani opposti, allora la base YT sta alla base TD come il solido YX sta al solido RI. Ma la base CD sta a DT come YT sta a DT, pertanto il solido CF sta al solido RI come il solido YX sta a RI (Prop.5-11).
Ognuno dei solidi CF e YX ha quindi con RI lo stesso rapporto. Il solido CF è quindi uguale al solido YX. Ma YX è stato mostrato uguale ad AE, anche AE è quindi uguale a CF (Prop.5.9).
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna la retta che conterrà CR e AL
- Perpendicolare: disegna i segmenti CB, RD perpendicolari a CR
- Parallela: disegna la parallela PD a CR e completa il parallelogrammo CD
- Circoferenza di raggio dato: disegna il segmento AL = CR sulla retta iniziale
- Punto: fissa un punto H sulla parallela RD
- Parallela: completa il parallelogrammo AB equivalente a CD
- Semiretta: traccia la semiretta PQ e su di essa prendi il segmento PQ
- Parallela: completa il solido CF
- Parallela: traccia la parallela HK a PQ
- Circoferenza di raggio dato: disegna il segmento HK = PQ
- Parallela: completa il solido AE
- Circoferenza di raggio dato: disegna il segmento RT = CR sulla retta iniziale
- Angolo di data misura: disegna l'angolo TRU = ALB
- Circoferenza di raggio dato: disegna il segmento RU = LB
- Parallela: completa la base RW e il solido XU
- Dall'intersezione tra le parallele DR e UW segna il punto Y
- Utilizzando le parallele già disegnate completa i solidi XY e RI
Non siano ora i lati che stanno su, AG, HK, BE, LM, CN, PQ, DF, RS, ad angoli retti con le basi AB e CD: dico di nuovo che il solido AE è uguale al solido CF.
Si conducano KO, ET, GU, MV, QW, FX, NY, SI dai punti K, E, G, M, Q, F, N, S perpendicolari al piano di riferimento, e incontrino il piano nei punti O, T, U, V, W, X, Y, I (Prop.11-11). Allora il solido KV è uguale al solido QI, sono infatti sulle basi uguali KM e QS e sotto la stessa altezza, e i loro lati che stanno su sono ad angoli retti con le loro basi.
Ma il solido KV è uguale al solido AE, e QI è uguale a CF, sono infatti sulla stessa base e della stessa altezza, dei quali i lati che stanno su non sono sulle stesse rette (Prop.11-30). Anche il solido AE è quindi uguale al solido CF.
Solidi parallelepipedi che sono su basi uguali e sotto la stessa altezza sono uguali tra loro
.La costruzione con GeoGebra:
- ripetere la costruzione precedente per i due solidi iniziali
- Perpendicolare: disegnare tutte le perpendicolari indicate
- Parallela: completare i due nuovi solidi
L'asserzione che è iniziata con la XI.29 è stata ora completamente generalizzata in due passaggi. nella proposizone successiva l'altezza dei due parallelepipedi rimane uguale, ma le basi variano. Questa proposizione è usta nella dimostrazione successiva, e in altre tre delle proposizioni rimanenti del Libro XI.