LIBRO XI
Prop.37: Se quattro rette sono in proporzione, allora anche solidi parallelepipedi sia simili sia similmente descritti su di esse sono in proporzione; e, se i solidi parallelepipedi sia simili che similmente descritti su di esse sono in proporzione, allora anche le stesse rette sono in proporzione
Dimostrazione
Siano AB, CD, EF, GH quattro rette in proporzione, così che AB sta a CD come EF sta a GH e si descrivano i solidi parallelepipedi sia simili sia similmente posti KA, LC, ME, NG su AB, CD, EF, GH: dico che KA sta a LC come ME sta a NG.
Poiché il solido parallelepipedo KA è simile a LC, allora KA ha con LC il rapporto triplicato di quello che AB ha con CD. Per lo stesso motivo ME ha con NG il rapporto triplicato di quello che EF ha con GH (Prop.11-33). Ma AB sta a CD come EF sta a GH. AK sta quindi a LC come ME sta a NG.
Ora come il solido AK sta al solido LC, così stia il solido ME al solido NG: dico che la retta AB sta a CD come EF sta a GH.
Di nuovo, poiché KA ha con LC il rapporto triplicato di quello che AB ha con CD, e anche ME ha con NG il rapporto triplicato di quello che EF ha con GH, e KA sta a LC come ME sta a NG, allora AB sta a CD come EF sta a GH (Prop.11-33).
Se quattro rette sono quindi in proporzione e quello che segue dell'enunciato.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta
- Parallela: disegna una parallele a quella precedente
- Segmento: disegna i segmenti AB, CD sulla prima retta e EF sulla parallela
- Circonferenza di dato centro: disegna il segmento GH = CDxEF/AB
- ripetere la stessa procedura per l'altro lato della base dei parallelogrammi e per l'altezza del solido
- Parallela: completa i solidi KA, LC, ME, NG
Questa proposizione completa la teoria dei volumi dei parallelepipedi.