LIBRO XI
Prop.38: Se i lati dei piani opposti di un cubo sono secati a metà, e per le sezioni sono prolungati piani, allora la sezione comune dei piani e la diagonale del cubo si secano a metà tra loro
Dimostrazione
Siano i lati dei piani opposti CF, AH del cubo AF secati a metà nei punti K, L, M, N, O, Q, P, R e per i punti della sezione seiano prolungati i piani KN, OR. Sia US la sezione comune dei piani, e DG la diagonale del cubo AF: dico che UT è uguale a TS e DT uguale a TG.
Si congiungano DU, UE, BS, SG. E poiché DO è parallela a PE, allora gli angoli alterni DOU, UPE sono uguali tra loro (Prop.1-29). Poiché DO è uguale a PE, e OU è uguale a UP, ed essi comprendono angoli uguali, allora la base DU è uguale alla base UE, il triangolo DOU è uguale al triangolo PUE, e gli angoli rimanenti sono uguali agli angoli rimanenti. L'angolo OUD è quindi uguale all'angolo PUE (Prop.1-4).
DUE è quindi proprio una retta (Prop.1-14). Per gli stessi motivi anche BSG è una retta, e BS è uguale a SG. E poiché CA è uguale e parallela a DB, e anche CA è uguale a parallela a EG, allora DB è uguale e parallela a EG (Prop.11-9). E le rette DE, BG le congiungono, pertanto DE è parallela a BG (Prop.1-33).
L'angolo EDT è quindi uguale all'angolo BGT, sono infatti alterni (Prop.1-29), e l'angolo DTU è uguale all'angolo GTS (Prop.1-15). DTU e GTS sono quindi due triangoli che hanno due angoli uguali a due angoli e un lato uguale a un lato, proprio quello che si tende sotto ad uno degli angoli uguali, cioè, DU è uguale a GS, sono infatti metà di DE e BG, pertanto i lati restanti sono uguali ai lati restanti (Prop.1-26). DT è quindi uguale a TG, e UT è uguale a TS.
Se quindi i lati dei piani opposti di un cubo sono secati a metà, e per le sezioni sono prolungati piani, allora la sezione comune dei piani e la diagonale del cubo si secano a metà tra loro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna le due rette che formano i lati consecutivi della base
- Parallela: la base AH
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare AC al piano di riferimento
- Compasso: disegna il segmento AC = AG
- Parallela: completa il cubo
- Punto medio: segna i punti medi di tutti gli spigoli
- Segmento: disegna tutti i segmenti della figura
Questa proposizione si occupa di una situazione specifica che si presenterà nella Prop.13-17. In essa un dodecaedro è costruito basato su un cubo, e per la dimostrazione di questa proposizione è necessario mostrare che il punto Tin cui SU interseca DG è il centro della sfera circoscritta al cubo.
Alcuni dettagli non sono presenti in questa dimostrazione. Per esempio, non si mostra che KL e MN giacciono su un piano, e che la linea SU interseca la linea DG.