Elementi di Euclide

Prop.17: Costruire e circondare con una sfera un dodecaedro, come nelle predette figure e dimostrare che il quadrato sul lato del dodecaedro è la retta irrazionale chiamata apotome

Dimostrazione

Si fissino due piani ABCD, CBEF del predetto cubo ad angoli retti tra loro (Prop.13-15) e si sechi a metà ciascuno dei lati AB, BC, CD, DA, EF, EB, FC (Prop.1-10) nei punti G, H, K, L, M, N, O e si congiungano GK, HL, MH, NO e si sechino nel rapporto estremo e medio ciascuna delle NP, PO, HQ nei punti R, S, T (Prop.6-30) e siano RP, PS, TQ i loro segmenti maggiori. Dai punti R, S, T si erigano RU, SV, TW ad angoli retti con i piani del cubo dalla parte all'esterno del cubo (Prop.11-11) e siano poste uguali a RP, PS, TQ (Prop.1-3). Si congiungano UB, BW, WC, CV, VU: dico che il pentagono UBWCV è equilatero, in un solo piano, e equiangolo,

Si congiungano RB, SB, VB. E poiché la retta NP è secata nel rapporto estremo e medio in R, e RP è il segmento maggiore, allora la somma dei quadrati su PN e NR è tripla del quadrato su RP (Prop.13-4). Ma PN è uguale a NB, e PR è uguale a RU, pertanto la somma dei quadrati su BN e NR è tripla del quadrato su RU. Ma il quadrato su BR è uguale alla somma dei quadrati su BN e NR (Prop.1-47), pertanto il quadrato su BR è triplo del quadrato su RU. Così che la somma dei quadrati su BR e RU è quadrupla del quadrato su RU.

Ma il quadrato su BU è uguale alla somma dei quadrati su BR e RU, pertanto il quadrato su BU è quadrupla del quadrato su RU. BU è quindi doppio di RU. Ma anche VU è doppio di UR, anche SR è infatti doppio di PR, cioè di RU, pertanto BU è uguale a UV. Del tutto similmente si dimostra che anche ognuna delle rette BW, WC, CV è uguale a ognuna delle rette BU, UV. Il pentagono BUVCW è quindi equilatero.

Dico ora che è anche in un solo piano.

Si conduca PX da P parallela ad ognuna delle rette RU e SV e all'esterno del cubo, e si congiungano XH e HW (Prop.1-31): dico che XHW è una retta.

Poiché HQ è secato nel rapporto estremo e medio in T, e QT è il suo segmento maggiore, allora HQ sta a QT come QT sta a TH. Ma HQ è uguale a HP, e QT è uguale ad ognuna delle rette TW e PX, pertanto HP sta a PX come WT sta a TH. E HP è parallela a TW, ognuna di esse è infatti ad angoli retti con il piano BD, e TH è parallela a PX, ognuna di esse è infatti ad angoli retti con il piano BF (Prop.11-6).

Ma se due triangoli XPH, HTW, che hanno due lato in proporzione con due lati sono composti secondo un solo angolo, così che i loro lati omologhi sono anche paralleli, allora le rette restanti sono in linea retta; XH è quindi in linea retta con HW (Prop.6-32). E ogni retta è in un solo piano, pertanto il pentagono UBWCV è in un solo piano (Prop.11-1).

Dico ora che è anche equiangolo.

Poiché la retta NP è secata nel rapporto estremo e medioin R e PR è il segmento maggiore, e PR è uguale a PS, allora anche NS è secato nel rapporto estremo e medio in P (Prop.13-5), e NP è il segmento maggiore. La somma dei quadrati su NS e SP è quindi tripla del quadrato su NP (Prop.13-4). Ma NP è uguale a NB, e PS è uguale a SV, pertanto la somma dei quadrati su NS e SV è tripla del quadrato su NB. Così che la somma dei quadrati su VS, SN, NB è quadrupla del quadrato su NB.

Ma il quadrato su SB è uguale alla somma dei quadrati su SN e NB, pertanto la somma dei quadrati su BS e SV, cioè il quadrato su BV, l'angolo VSB è infatti retto, è quadruplo del quadrato su NB. VB è quindi doppio di BN. Ma anche BC è doppio di BN, pertanto BV è uguale a BC. E poiché i due lati BU e UV sono uguali ai due lati BW e WC, e la base BV è uguale alla base BC, allora l'angolo BUV è uguale all'angolo BWC (Prop.1-8).

Del tutto similmente si dimostra che anche l'angolo UVC è uguale all'angolo BWC. I tre angoli BWC, BUV, UVC sono quindi uguali tra loro. Ma se in un pentagono equilatero tre angoli sono uguali tra loro, allora il pentagono è equiangolo (Prop.13-7), pertanto il pentagono BUVCW è equiangolo. Ed è stato anche dimostrato che è equilatero, pertanto il pentagono BUVCW è equilatero e equiangolo, ed è su un solo lato BC del cubo.

Se quindi facciamo la stessa costruzione su ciascuno dei dodici lati del cubo, risulta costruita un certa figura solida che è compresa da dodici pentagono equilateri e equiangoli, e che è chiamata dodecaedro.

Si deve pertanto anche circondarlo con una sfera data e dimostrare che il lato del dodecaedro è un'irrazionale, quella chiamata apotome.

Si prolunghi XP, e sia la retta XZ. PZ incontra pertanto la diagonale del cubo, e si secano a metà, questo è infatti stato dimostrato nella (Prop.11-38). Si sechino in Z. Pertanto Z è il centro della sfera che circonda il cubo, e ZP è la metà del lato del cubo. Si congiunga UZ.

E poiché la retta NS è secata nel rapporto estremo e medio in P, e NP è il suo segmento maggiore, allora la somma dei quadrati su NS e SP è tripla del quadrato su NP (Prop.13-4). Ma NS è uguale a XZ, anche NP è infatti uguale a PZ, e XP è uguale a PS. Ma anche PS è uguale a XU, poiché appunto anche è uguale a RP. La somma dei quadrati su ZX e XU è tripla del quadrato su NP.

Ma il quadrato su UZ è uguale alla somma dei quadrati su ZX e XU, pertanto il quadrato su UZ è triplo del quadrato su NP. Ma anche il quadrato sul raggio della sfera che circonda il cubo è tripla del quadrato sulla metà del lato del cubo, è stato infatti prima dimostrato come costruire e circondare con una sfera un cubo, e dimostrare che il quadrato diametro della sfera è triplo del quadrato sul lato del cubo (Prop.13-15).

Ma, se il totale è correlato al totale come anche la metà alla metà, e NP è metà del lato del cubo, allora UZ è uguale al raggio della sfera che circonda il cubo. Ma Z è il centro della sfera che circonda il cubo, pertanto il punto U è sulla superficie della sfera. Del tutto similmente si dimostra che anche ognuno degli angoli restanti del dodecaedro sta sulla superficie della sfera, pertanto il dodecaedro è stato circondato nella sfera data.

Dico ora che il lato del dodecaedro è un'irrazionale, quella chiamata apotome.

Poiché, secata infatti NP nel rapporto estremo e medio, RP è il suo segmento maggiore, e, se PO è secata nel rapporto estremo e medio, PS è il suo segmento maggiore, allora, qualora NO totale è secato nel rapporto estremo e medio, RS è il segmento maggiore.

Poiché ad esempio NP sta a PR come PR sta a RN, lo stesso è vero anche per i doppi, le parti hanno infatto lo stesso rapporto degli equimultipli (Prop.5-15), pertanto NO sta a RS come RS sta alla somma di NR e SO. Ma NO è maggiore di RS, pertanto anche RS è maggiore della somma di NR e SO, pertanto NO è secato nel rapporto estremo e medio, e RS è il segmento maggiore.

Ma RS è uguale a UV, pertanto, se NO è secato nel rapporto estremo e medio, UV è il segmento maggiore. E poiché il diametro della sfera è razionale, e il quadrato su di esso è triplo del quadrato sul lato del cubo, allora NO, essendo un lato del cubo, è razionale. Ma se una razionale è secata nel rapporto estremo e medio, ognuno dei segmenti è una irrazionale apotome.

UV che è lato del dodecaedro è quindi un'irrazionale apotome.

Corollario: Da questo è pertanto manifesto che, secato il lato del cubo nel rapporto estremo e medio, il segmento maggiore è il lato del dodecaedro.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento BC
• Poligono Regolare: disegna il quadrato ABCD
• Retta: disegna la retta BE
• Parallela: completa il quadrato CBEF
• Punto Medio: disegna i punti medi di ogni lato
• Segmento: disegna i segmenti congiungenti i punti medi che si intersecano in Q e P
• Circonferenza di raggio dato: disegna le circonferenze di centro H e P con raggio uguale al prodotto di HQ (PN) per la semidifferenza tra la radice di 5 e 1
• Perpendicolare: disegna i segmenti TW=TQ/2, RU=RP, SV=PS
• Segmento: disegna i segmenti UB, BW, WC, CV, VU, RB, SB, VB
• Parallela: disegna da P la parallela PX a RU
• Segmento: disegna i segmenti XH e HW
• Segmento: si prenda XZ sulla perpendicolare PX e si disegni XZ

La costruzione avviene considerando un cubo inscritto in una sfera e si costruisce poi un pentagono regolare con il lato uguale alla diagonale del cubo. Un tal pentagono rappresenta una delle facce del dodecaedro. Lo spigolo di tale solido è la parte aurea dello spigolo del cubo.