LIBRO XIII
Prop.7: Se tre angoli di un pentagono equilatero, o quelli consecutivi oppure quelli non consecutivi, sono uguali, allora il pentagono è equiangolo
Dimostrazione
Siano tre angoli consecutivi A, B, C di un pentagono equilatero ABCDE uguali tra loro: dico che il pentagono ABCDE è equiangolo.
Si congiungano AC, BE, FD. E poiché i due lati CB, BA sono uguali rispettivamente ai due lati BA, AE e l'angolo CBA è uguale all'angolo BAE, allora la base AC è uguale alla base BE, il triangolo ABC è uguale al triangolo ABE, e gli angoli restanti sono uguali agli angoli restanti, cioè quelli opposti ai lati uguali, cioè, l'angolo BCA è uguale all'angolo BEA, e l'angolo ABE è uguale all'angolo CAB (Prop.1-4).
Così che anche il lato AF è uguale al lato BF (Prop.1-6). Ma AC totale è uguale a BE totale, pertanto FC restante è uguale a FE restante. Ma anche CD è uguale a DE. I due lati FC, CD sono quindi uguali ai due lati FE, ED, e la base FD è in comune, pertanto l'angolo FCD è uguale all'angolo FED (Prop.1-8).
Ma anche l'angolo BCA è stato dimostrato uguale all'angolo AEB, pertanto l'angolo BCD totale è uguale all'angolo AED totale. Ed è stato supposto che l'angolo BCD è uguale agli angoli in A e B, pertanto anche l'angolo AED è uguale agli angoli in A e B. Del tutto similmente si dimostra che anche l'angolo CDE è uguale agli angoli in A, B, C. Il pentagono ABCDE è quindi equiangolo.
Ma ora non siano uguali gli angoli consecutivi, ma siano uguali quelli nei punti A, C, D: dico che anche così il pentagono ABCDE è equiangolo.
Si congiunga BD. E poiché i due lati BA, AE sono uguali ai due lati BC, CD, ed essi comprendono angoli uguali, allora la base BE è uguale alla base BD, il triangolo ABE è uguale al triangolo BCD, e gli angoli restanti sono uguali agli angoli restanti, quelli opposti ai lati uguali. L'angolo AEB è quindi uguale all'angolo CDB (Prop.1-4).
Ma anche l'angolo BED è uguale all'angolo BDE, poiché il lato BE è uguale al lato BD (Prop.1-5). L'angolo AED totale è quindi uguale all'angolo CDE totale. Ma l'angolo CDE è stato supposto uguale agli angoli in A e C, pertanto anche l'angolo AED è uguale agli angoli in A e C.
Per gli stessi motivi anche l'angolo ABC è uguale agli angoli in A, C, D. Il pentagono ABCDE è quindi equiangolo.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento CD, lato del pentagono
- Poligono Regolare: disegna il pentagono ABCDE
- Segmento: disegna le diagonali BE, AC che si intersecano in F e disegna FD e BD
Questa proposizione serve nella XIII.17 per mostrare che il dodecaedro costruito ha facce a forma di pentagoni equiangoli