LIBRO XIII
Prop.6: Se una retta razionale è secata nel rapporto estremo e medio, allora ognuno dei segmenti è la retta irrazionale detta apotome
Dimostrazione
Sia AB una secata nel rapporto estremo e medio nel punto C e sia AC il segmento maggiore: dico che ognuna delle rette AC e CB è la retta irrazionale detta apotome.
Si prolunghi BA e si ponga AD uguale alla metà di BA. Poiché, allora, la retta AB è secata nel rapporto estremo e medio, e al segmento maggiore AC è aggiunto AD che è la metà di AB, allora il quadrato su CD è cinque volte il quadrato su DA (Prop.13-1).
Il quadrato su CD ha quindi con il quadrato su DA il rapporto che un numero ha con un numero (Prop.10-6), pertanto il quadrato su CD è commensurabile con il quadrato su DA. Ma il quadrato su DA è razionale, DA è infatti razionale essendo la metà di AB che è razionale, pertanto anche il quadrato su CD è razionale. Anche CD è quindi razionale (Def.10-4).
E poiché il quadrato su CD non ha con il quadrato su DA il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato, allora CD è incommensurabile in lunghezza con DA (Prop.10-9). CD e DA sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza. AC è quindi una apotome (Prop.10-74).
Di nuovo, poiché AB è secato nel rapporto estremo e medio, e AC è il segmento maggiore, allora il rettangolo AB per BC è uguale al quadrato su AC (Prop.6-17). Il quadrato sull'apotome AC, se applicato alla retta razionale AB, produce quindi BC come larghezza. Ma il quadrato su una apotome, se applicato ad una razionale, produce come larghezza una apotome prima (Prop.10-97), pertanto CB è una apotome prima. E CA è stato dimostrato essere una apotome
.Se quindi una retta razionale è secata nel rapporto estremo e medio, allora ognuno dei segmenti è la retta irrazionale detta apotome.
La costruzione con GeoGebra:
- per la divisione del segmento si fa riferimento alla costruzione della Prop.6-30
- Segmento: disegna il segmento AB
- Poligono regolare: disegna il quadrato su AB
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro A e raggio uguale ad AB per la semidifferenza tra la radice di 5 e 1. Tale circonferenza interseca AB in C
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio AC che interseca il prolungamento di AB in D