LIBRO XIII
Prop.5: Se una retta è secata nel rapporto estremo e medio, ed è sommata ad essa un retta uguale al segmento maggiore, allora la retta totale risulta secata nel rapporto estremo e medio, e la retta in origine è il segmento maggiore
Dimostrazione
Sia AB una secata nel rapporto estremo e medio nel punto C e sia AC il segmento maggiore e AD uguale a AC: dico che la retta DB è secata nel rapporto estremo e medio in A e il segmento maggiore è la retta in origine AB.
Si costruisca il quadrato AE su AB e si tracci completamente la figura (Def.1-46). Poiché quindi AB è secata nel rapporto estremo e medio in C, e AC è il segmento maggiore, allora il rettangolo AB per BC è uguale al quadrato su AC (Prop.6-17). E CE è il rettangolo AB per BC, e CH è il quadrato su AC, pertanto CE è uguale a HC.
Ma HE è uguale a CE, e DH è uguale a HC, pertanto anche DH è uguale a HE. DK totale è quindi uguale a AE totale. E DK è il rettangolo BD per DA, AD è infatti uguale a DL, e AE è il quadrato su AB, pertanto il rettangolo BD per DA è uguale al quadrato su AB.
DB sta quindi a BA come BA sta a AD. E DB è maggiore di BA, pertanto anche BA è maggiore di AD (Prop.5-14). DB risulta quindi secato nel rapporto estremo e medio in A, e AB è il segmento maggiore.
.La costruzione con GeoGebra:
- per la divisione del segmento si fa riferimento alla costruzione della Prop.6-30
- Segmento: disegna il segmento AB
- Poligono regolare: disegna il quadrato su AB
- Circonferenza di raggio dato: disegna la circonferenza di centro A e raggio uguale ad AB per la semidifferenza tra la radice di 5 e 1. Tale circonferenza interseca AB in C
- Circonferenza: disegna la circonferenza di centro A e raggio AC che interseca il prolungamento di AB in D
- Poligono regolare: disegna il quadrato AE su AB
- Segmento: disegna la diagonale AE
- Parallela: disegna la parallela per C e D a BE
- Parallela: disegna la parallela per l'intersezione tra la parallela per C e la diagonale al lato AB
- Segmento: completa la figura