LIBRO X - Terza Parte
Prop.97: Il quadrato su una apotome di una mediale applicata ad una razionale produce come larghezza una apotome prima
Dimostrazione
Sia AB una apotome e CD una razionale e a CD sia appplicato CE uguale al quadrato su AB e che produce CF come larghezza: dico che CF è una apotome prima.
Sia BG adattata a AB. Allora AG e GB sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-73). A CD si applichi CH, uguale al quadrato su AG, e KL, uguale al quadrato su BG. CL totale è quindi uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, dei quali CE è uguale al quadrato su AB, pertanto FL restante è uguale al doppio del rettangolo AG per GB (Prop.2-7).
Si sechi FM a metà in N, e si tracci NO parallelo a CD passante per N. Allora ognuno dei rettangoli FO e LN è uguale al rettangolo AG per GB. E poiché la somma dei quadrati su AG e GB è razionale, e DM è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, allora DM è razionale.
Ed è applicata alla razionale CD producendo CM come larghezza, pertanto CM è razionale e commensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-20). Di nuovo, poiché il doppio del rettangolo AG per GB è mediale, e FL è uguale al doppio del rettangolo AG per GB, allora FL è mediale. Ed è applicata alla razionale CD producendo FM come larghezza, pertanto FM è razionale e incommensurabile in lunghezza con CD (Prop.10-22).
Poiché i quadrati su AG e GB sono razionali, mentre il doppio del rettangolo AG per GB è mediale, allora la somma dei quadrati su AG e GB è incommensurabile con il doppio del rettangolo AG per GB. Ma CL è uguale alla somma dei quadrati su AG e GB, e FL è uguale al doppio del rettangolo AG per GB, pertanto DM è incommensurabile con FL.
Ma DM sta a FL come CM sta a FM (Prop.6-1), pertanto CM è incommensurabile in lunghezza con FM (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali, pertanto CM e MF sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. CF è quindi una apotome (Prop.10-73).
Dico ora che è anche prima.
Poiché il rettangolo AG per GB è medio proporzionale tra i quadrati su AG e GB, CH è uguale al quadrato su AG, KL è uguale al quadrato su BG, e NL è uguale al rettangolo AG per GB, allora anche NL è medio proporzionale tra CH e KL. CH sta quindi a NL come NL sta a KL.
Ma CH sta a NL come CK sta a NM (Prop.6-1), e NL sta a KL come NM sta a KM (Prop.6-17), pertanto il rettangolo CK per KM è uguale al quadrato su NM, cioè la quarta parte del quadrato su FM.
Poiché il quadrato su AG è commensurabile con il quadrato su GB, allora anche CH è commensurabile con KL. Ma CH sta a KL come CK sta a KM (Prop.6-1), pertanto CK è commensurabile con KM (Prop.10-11).
Poiché CM e MF sono due rette disuguali, e a CM è stato applicato il rettangolo CK per KM uguale alla quarta parte del quadrato su FM e facente difetto per una figura quadrata, mentre CK è commensurabile con KM, allora il quadrato su CM è maggiore del quadrato su MF per il quadrato su una retta commensurabile in lunghezza con CM (Prop.10-17).
E CM è commensurabile in lunghezza con la retta razionale CD fissata, pertanto CF è una apotome prima.
Il quadrato su una apotome di una mediale applicata ad una razionale produce come larghezza una apotome prima.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Perpendicolare: traccia una perpendicolare al segmento AB e su di essa traccia il segmento CD
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a CD passante per C
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento CF = ABxAB/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CE
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento DH = AGxAG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo CH
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HL = BGxBG/CD
- Perpendicolare:completa il rettangolo KL
- Punto Medio: segna il punto medio, N, di FM
- Parallela: disegna la parallela a CD passante per un punto N