Elementi di Euclide

Prop.16: Costruire e circondare con una sfera, come per le precedenti figure, e dimostrare che il quadrato sul lato dell'icosaedro è la retta irrazionale chiamata minore

Dimostrazione

Si fissi il diametro AB della sfera data, e si sechi nel punto C così che AC sia quadruplo di CB (Prop.6-10); si tracci il semicerchio ADB su AB e si conduca una retta CD dal punto C ad angoli retti con AB (Prop.1-11) e si congiunga DB. E si fissi il cerchio EFGHK con raggio uguale a DB; si inscriva nel cerchio EFGHK un pentagono EFGHK sia equilatero che equiangolo EFGHK (Prop.4-11) e si sechino a metà gli archi EF, FG, GH, HK, KE nei punti L, M, N, O (Prop.1-9) e si congiungano LM, MN, NO, OP, PL, EP.

Anche il pentagono LMNOP è quindi equilatero e la retta EP è lato di un decagono. E dai punti E, F, G, H, K si erigano le rette EQ, FR, GS, HT, KU ad angoli retti con il piano del cerchio (Prop.11-12), e siano prese uguali al raggio del cerchio EFGHK. Si congiungano QR, RS, ST, TU, UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP, PQ.

E poiché ognuna delle rette EQ, KU è ad angoli retti con lo stesso piano, allora EQ è parallela a KU. Ma gli è anche uguale, e le rette che congiungono dalla stessa parte le rette sia uguali che parallele sono sia uguali che parallele. QU è quindi uguale e parallela a EK (Prop.1-33). Ma EK è un lato di un pentagono equilatero, pertanto anche QU è un lato di un pentagono equilatero inscritto nel cerchio EFGHK. Per gli stessi motivi ognuna delle rette QR, RS, ST, TU sono pure lati di un pentagono equilatero inscritto nel cerchio EFGHK. Il pentagono QRSTU è quindi equilatero.

E poiché QE è il lato di un esagono, e EP di un decagono, e l'angolo QEP è retto, allora QP è il lato di un pentagono, il quadrato sul lato del pentagono è infatti uguale alla somma dei quadrati sul lato dell'esagono e del decagono inscritti nello stesso cerchio (Prop.13-10). Per gli stessi motivi anche PU è un lato di un pentagono. Ma anche QU è un lato di un pentagono, pertanto il triangolo QPU è equilatero. Per gli stessi motivi anche ognuno dei triangoli QLR, RMS, SNT, TOU è equilatero.

E poiché ognuna delle rette QL, QP è stata dimostrata essere un lato di un pentagono, e anche LP è un lato di un pentagono, allora il triangolo QLP è equilatero. Per gli stessi motivi anche ognuno dei triangoli LRM, MSN, NTO, OUP è equilatero.

Si prenda il centro V del cerchio EFGHK, si eriga VZ da V ad angoli retti con il piano del cerchio (Prop.11-12), e la si prolunghi dall'altra parte come VX. Si sottragga VW, il lato dell'esagono, e ognuna delle rette VX, WZ, lati di un decagono (Prop.3-1). Si congiungano QZ, QW, UZ, EV, LV, LX, XM. E poiché ognuna delle rette VW, QE è ad angoli retti con il piano del cerchio, allora VW è parallelo a QE. Ma sono anche uguali, pertanto anche EV e QW sono uguali e parallele.

Ma EV è lato di un esagono, pertanto anche QW è lato di un esagono. E poiché QW è lato di un esagono, e WZ di un decagono, e l'angolo QWZ è retto, allora QZ è lato di un pentagono (Prop.13-10). Per gli stessi motivi anche UZ è lato di un pentagono, se infatti si congiungono VK e WU, allora esse saranno uguali e opposte, e VK, essendo un raggio, sarà lato di un esagono (Prop.4-15-Cor), pertanto anche WU è lato di un esagono. Ma WZ è lato di un decagono, e l'angolo UWZ è retto, pertanto UZ è lato di un pentagono (Prop.13-10).

Ma anche QU è lato di un pentagono, pertanto il triangolo QUZ è equilatero. Per gli stessi motivi anche ognuno dei triangoli restanti con basi le rette QR, RS, ST, TU e vertice in Z, è equilatero. Di nuovo, poiché VL è lato di un esagono, e VX di un decagono, e l'angolo LVX è retto, allora LX è lato di un pentagono (Prop.13-10). Per gli stessi motivi, se si congiunge MV, che è lato di un esagono, anche MX si conclude lato di un pentagono.

Ma anche LM è lato di un pentagono, pertanto il triangolo triangle LMX è equilatero. Similmente si dimostra che anche ognuno dei triangoli restanti con basi le rette MN, NO, OP, PL e vertice in X, è equilatero. Risulta quindi costruito un icosaedro che è compreso da venti triangoli equilateri.

Si deve pertanto anche circondarlo con una sfera data e dimostrare che il lato dell'icosaedro è un'irrazionale, quella chiamata minore.

Poiché VW è lato di un esagono, e WZ di un decagono, allora VZ è secato nel rapporto estremo e medio in W, e VW è il segmento maggiore. ZV sta quindi a VW come VW sta a WZ (Prop.3-9). Ma VW è uguale a VE, e WZ è uguale a VX, pertanto ZV sta a VE come EV sta a VX. E gli angoli ZVE e EVX sono retti, pertanto se congiungiamo la retta EZ, allora l'angolo XEZ sarà retto poiché i triangoli XEZ, VEZ sono simili.

Per gli stessi motivi, poiché ZV sta a VW come VW sta a WZ, e ZV è uguale a XW, e VW è uguale a WQ, allora XW sta a WQ come QW sta a WZ. E ancora per gli stessi motivi, se si congiunge QX, allora l'angolo in Q sarà retto (Prop.6-8), pertanto anche il semicerchio tracciato su XZ passerà per Q (Prop.3-31). E se, stando ferma XZ, il semicerchio ruotato ritorna nella sua posizione iniziale, allora passerà per Q e per i restanti punti dell'icosaedro, e l'icosaedro risulterà circondato con una sfera.

Dico ora che lo è anche con una data.

Si sechi a metà VW in A' (Prop.1-9). E poiché la retta VZ è secata nel rapporto estremo e medio in W, e ZW è il suo segmento minore, allora il quadrato su ZW aggiunto alla metà del segmento maggiore, cioè WA', è cinque volte il quadrato della metà del segmento maggiore. Il quadrato su ZA' è quindi cinque volte il quadrato su A'W (Prop.13-3). E ZX è doppio di ZA', e VW è doppio di A'W, pertanto il quadrato su ZX è cinque volte il quadrato su WV. E poiché AC è quadruplo di CB, allora AB è cinque volte BC.

Ma AB sta a BC come il quadrato su AB sta al quadrato su BD (Prop.6-8), pertanto il quadrato su AB è cinque volte il quadrato su BD. Ma anche il quadrato su ZX è stato dimostrato essere cinque volte il quadrato su VW. E DB è uguale a VW, entrambi sono infatti uguali al raggio del cerchio EFGHK, pertanto anche AB è uguale a XZ. E AB è il diametro della sfera data, pertanto anche XZ è uguale al diametro della sfera data. L'icosaedro risulta quindi circondato dalla sfera data.

Dico ora che il lato dell'icosaedro è un'irrazionale, quella chiamata minore.

Poiché il diametro della sfera è razionale, e il quadrato su di esso è cinque volte il quadrato sul raggio del cerchio EFGHK, allora anche il raggio del cerchio EFGHK è razionale, così che anche il suo diametro è razionale. Ma, se un pentagono equilatero è inscritto in un cerchio il cui diametro è razionale, allora il lato del pentagono è l'irrazionale chiamata minore (Prop.13-11).

E il lato del pentagono EFGHK è il lato dell'icosaedro, pertanto il lato dell'icosaedro è l'irrazionale chiamata minore.

Corollario: Da questo è pertanto manifesto che il quadrato sul diametro della sfera è cinque volte il quadrato sul raggio del cerchio su cui risulta descritto l'icosaedro, e che il diametro della sfera si compone sia del lato dell'esagono che di due lati del decagono inscritto nello stesso cerchio.

La costruzione con GeoGebra:

• Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento AB
• Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio AC = 4xAB/54
• Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza ABD
• Perpendicolare: disegna il segmento CD perpendicolare in C ad AB
• Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EF = DBx1.176
• Poligono regolare: disegna il pentagono EFGHK
• Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta
• Punto Medio o Centro: segna il centro della circonferenza
• Perpendicolare: disegna gli assi dei lati del pentagono che intersecano la circonferenza nei punti L, M, N, O, P
• Segmento: disegna i segmenti LM, MN, NO, OP, PL, EP
• Retta: disegna la retta per il centro e F e traccia il segmento FR = DB
• Angolo: segna l'angolo EFR
• Angolo di misura data: disegna l'angolo FEQ = EFR
• Parallela: disegna la parallela da F al lato FE che interseca il lato dell'angolo FQR in Q
• ripeti la procedura per tutti i vertici del pentagono EFGHK
• Segmento: disegna i segmenti QR, RS, ST, TU, UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP, PQ e i lati del decagono ELFMGNHOKP
• Retta: disegna la retta XZ e il segmento VW lato dell'esagono
• Segmento: disegna i segmenti QZ, QW, UZ, EV, LV, LX, XM
• Punto Medio: segna il punto medio A' del segmento VW

L'icosaedro regolare è composto di 20 facce, ognuna delle quali è un triangolo equilatero, con cinque triangoli che si incontrano in ogni vertice. Vi sono 12 vertici e 30 spigoli.