LIBRO XIII
Prop.15: Costruire e circondare con una sfera un cubo, come la piramide e dimostrare che il quadrato sul diametro della sfera è triplo del lato del cubo
Dimostrazione
Si fissi il diametro AB della sfera data, e si sechi nel punto C così che AC sia doppio di CB (Prop.6-10); si tracci il semicerchio ADB su AB e si conduca una retta CD dal punto C ad angoli retti con AB (Prop.1-11) e si congiunga DB. E si fissi il quadrato EFGH che ha il lato uguale a DB (Prop.1-46); si conducano EK, FL, GM, HN dai punti E, F, G, H ad angoli retti con il piano del quadrato EFGH (Prop.11-12) e sia sottratta da ciascuna delle EK, FL, GM, HN ciascuna delle EK, FL, GM, HN rispettivamente uguali a una sola delle EF, FG, GH, HE (Prop.1-3). Si congiungano KL, LM, MN, NK: risulta quindi costruito il cubo FN che è compreso da sei quadrati uguali.
Si deve pertanto anche circondarlo con una sfera data e dimostrare che il quadrato sul diametro della sfera è triplo del quadrato sul lato del cubo.
Si congiungano KG e EG. E poiché l'angolo KEG è retto, anche KE è infatti ad angoli retti con il piano EG e naturalmente anche la retta EG, allora il semicerchio tracciato su KG passa per il punto E (Def.11-3). Di nuovo, poiché GF è ortogonale ad ognuna delle rette FL, FE, allora anche GF è ortogonale al piano FK. Così che anche, se tracciamo FK, HF sarà ortogonale anche a FK. Per questo motivo anche il semicerchio traccaito su GK passerà per F.
Similmente passa anche per i restanti punti del cubo. Se quindi, restando fermo KG, il semicerchio ruotato ritorna nella stessa posizione iniziale, allora il cubo è circondato da una sfera.
Dico ora anche che è circondato da una sfera data.
Poiché infatti GF è uguale a FE, e l'angolo in F è retto, allora il quadrato su EG è doppio del quadrato su EF. Ma EF è uguale a EK, pertanto il quadrato su EG è doppio del quadrato su EK. Così che la somma dei quadrati su GE e EK, cioè il quadrato su GK, è triplo del quadrato su EK (Prop.1-47).
E poiché AB è triplo di BC, mentre AB sta a BC come il quadrato su AB sta al quadrato su BD, allora il quadrato su AB è triplo del quadrato su BD. Ma anche il quadrato su GK è stato dimostrato triplo del quadrato su KE. E KE è stato preso uguale a DB, pertanto anche KG è uguale ad AB. Ma AB è il diametro della sfera data, pertanto anche KG è uguale al diametro della sfera data.
Il cubo risulta quindi circondato con una sfera data e risulta anche dimostrato che il diametro della sfera è triplo del quadrato sul lato del cubo.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio AC = 2xAB/3
- Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza ABD
- Perpendicolare: disegna il segmento CD perpendicolare in C ad AB
- Segmento: disegna i segmenti CD e DB
- Punto: segna il punto F
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio FG = DB
- Poligono regolare: disegna il quadrato EFGH di lato uguale a DB
- Retta: disegna la retta FL e fissa un segmento FL
- Parallela: disegna le rette parallele a FL per i vertici del quadrato
- Circonferenza di dato raggio: disegna gli spigoli del cubo uguali a FL e completa il cubo
- Segmento: disegna i segmenti KG, EG