LIBRO XIII
Prop.14: Costruire e circondare con una sfera un ottaedro, come nel caso precedente, e dimostrare che il quadrato sul diametro della sfera è doppio del quadrato sul lato dell'ottaedro
Dimostrazione
Sia fissato il diametro AB della sfera data, e sia secato a metà nel punto C e si tracci il semicerchio ADB su AB e si conduca una retta CD dal punto C ad angoli retti con AB (Prop.1-11), e si congiunga DB. E sia fissato il quadrato EFGH che ha ciascuno dei lati uguale a DB (Prop.1-46); si conducano HF, EG, e si eriga KL dal punto K ad angoli retti con il piano del quadrato EFGH (Prop.11-12), e si conduca oltre dall'altra parte del piano come KM e si sottraggano rispettivametne da KL, KM, le rette KL, KM uguali a una sola delle EK, MF, MG, MH (Prop.1-3).
E poiché KE è uguale a KH, e l'angolo EKH è retto, allora il quadrato su HE è doppio del quadrato su EK. Di nuovo, poiché LK è uguale a KE, e l'angolo LKE è retto, allora il quadrato su EL è doppio del quadrato su EK (Prop.1-47). Ma anche il quadrato su HE è stato dimostrato doppio del quadrato su EK, pertanto il quadrato su LE è uguale al quadrato su EH. LE è quindi uguale a EH. Per gli stessi motivi anche LH è uguale a HE. Il triangolo LEH è quindi equiangolo.
Del tutto similmente si dimostra che ognuno dei triangoli restanti, basi dei quali sono i lati del quadrato EFGH e vertici i punti L, M, è equilatero; risulta quindi costruito un ottaedro che è compreso da otto triangoli equilateri.
Si richiede ora anche di circondarlo con una data sfera, e dimostrare che il quadrato sul diametro della sfera è doppio del quadrato sul lato dell'ottaedro.
Poiché le tre rette LK, KM, KE sono uguali tra loro, allora il semicerchio descritto su LM passa per E. E per gli stessi motivi, se, rimanendo LM fisso, il semicerchio viene ruotato e riportato alla stessa posizione iniziale, allora passa anche per i punti F, G, H, e l'ottaedro sarà circondato con una sfera.
Dico ora che è anche circondato con una data sfera.
Poiché infatti LK è uguale a KM, e KE è in comune, ed essi comprendono angoli retti, allora la base LE è uguale alla base EM (Prop.1-4). E poiché l'angolo LEM è retto, è infatti in un semicerchio (Prop.3-31), allora il quadrato su LM è doppio del quadrato su LE (Prop.1-47). Di nuovo, poiché AC è uguale a CB, allora AB è doppio di BC. Ma AB sta a BC come il quadrato su AB sta al quadrato su BD, pertanto il quadrato su AB è doppio del quadrato su BD.
Ma è stato anche dimostrato che è uguale a DB. Il quadrato su AB è quindi uguale a LM. AB è quindi uguale a LM. Ma AB è il diametro della sfera data, pertanto LM è uguale al diametro della sfera data.
L'ottaedro risulta quindi circondato con una sfera data e risulta anche dimostrato che il diametro della sfera è doppio del quadrato sul lato dell'ottaedro.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento AB
- Punto Medio: segna il punto medio C del segmento AB
- Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza ABD
- Perpendicolare: disegna il segmento CD perpendicolare in C ad AB
- Segmento: disegna i segmenti CD e DB
- Punto: segna il punto F
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio FG = DB
- Poligono regolare: disegna il quadrato EFGH di lato uguale a DB
- Segmento: disegna le diagonali del quadrato che si intersecano in K
- Retta: disegna la retta LM per K
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio KL = FK
- Segmento: disegna i segmenti EL, LH, GH, MH, FM, LF, EM