LIBRO XIII
Prop.13: Costruire e circondare con una sfera una piramide e dimostrare che il quadrato sul diametro della sfera è una volta e mezzo il quadrato sul lato della piramide
Dimostrazione
Si fissi il diametro AB della sfera data, e si sechi nel punto C così che AC sia doppio di CB (Prop.6-10); si descriva il semicerchio ADB su AB e si tracci CD dal punto C ad angoli retti con AB (Prop.1-11), e si congiunga DA. E si fissi il cerchio EFG di raggio uguale a DC; si inscriva il triangolo equilatero EFG (Prop.1-1) nel cerchio EFG (Prop.4-2), e si prenda il centro H del cerchio. Si congiungano EH, HF, HG. Si eriga HK dal punto H ad angoli retti con il piano del cerchio EFG (Prop.11-12), e si sottragga da HK una retta HK uguale alla retta AC (Prop.1-3), e si congiungano KE, KF, KG.
E poiché KH è ad angoli retti con il piano del cerchio EFG, allora forma angoli retti con tutte le rette che la toccano e sono nel piano del cerchio EFG (Def.11-3). Ma ognuna delle rette HE, HF, HG la incontra, pertanto HK è ad angoli retti con ognuna delle rette HE, HF, HG. E poiché AC è uguale a HK, e CD è uguale a HE, ed esse comprendono angoli retti, allora la base DA è uguale alla base KE. Per gli stessi motivi anche ognuna delle rette KF e KG è uguale a DA. Le tre rette KE, KF, KG sono quindi uguali tra loro (Prop.1-4).
E poiché AC è doppio di CB, allora AB è triplo di BC. Ma come AB sta a BC così il quadrato su AD sta al quadrato su DC, come sarà dimostrato in seguito. Il quadrato su AD è quindi triplo del quadrato su DC. Ma anche il quadrato FE è triplo del quadrato su EH, e DC è uguale a EH, pertanto anche DA è uguale a EF (Prop.13-12).
Ma DA è stato dimostrato uguale ad ognuna delle rette KE, KF, KG, pertanto anche ognuna delle rette EF, FG, GE è uguale ad ognuna delle rette KE, KF, KG. I quattro triangoli EFG, KEF, KFG, KEG sono quindi equilateri. Risulta quindi costruita una piramide da quattro triangoli equilateri, base della quale è il triangolo EFG e vertice il punto K.
Si richiede ora anche di circondarla con una sfera data e di dimostrare che il diametro della sfera è tre mezzi del quadrato sul lato della piramide. Si prolunghi la retta HL in linea retta con HK, e si prenda HL uguale a CB (Prop.1-3). E poiché AC sta a CD come CD sta a CB, mentre AC è uguale HK, CD uguale a HE, e CB uguale a HL, allora HK sta a HE come EH sta a HL (Prop.6-8) (Prop.6-17). Il rettangolo HK per HL è quindi uguale al quadrato su EH.
Ma ognuno degli angoli KHE, EHL è retto, pertanto il semicerchio tracciato su KL passa anche per E (Prop.3-31). E allora, se, rimanendo fermo KL, il semicerchio è ruotato e ritorna alla stessa posizione da cui aveva iniziato a muoversi, esso passa anche per i punti F e G, poiché, se FL e LG sono congiunte, gli angoli in F e G risultano similmente retti, e la piramide è circondata con una sfera data. Infatti KL, il diametro della sfera, è uguale al diametro AB della sfera data, poiché HK è uguale ad AC, e HL a CB.
Dico ora che il quadrato sul diametro della sfera è tre mezzi del quadrato sul lato della piramide.
Poiché AC è doppio di CB, allora AB è triplo di BC, e, convertendo, BA è tre mezzi di AC. Ma BA sta ad AC come il quadrato su BA sta al quadrato su AD. Anche il quadrato su BA è quindi tre mezzi del quadrato su AD. E BA è il diametro della sfera data, e AD è uguale al lato della piramide.
Il diametro della sfera è quindi tre mezzi del quadrato sul lato della piramide.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento AB
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio AC = 2xAB/3
- Semicirconferenza per due punti: disegna la semicirconferenza ABD
- Perpendicolare: disegna il segmento CD perpendicolare in C ad AB
- Segmento: disegna i segmenti CD e AD
- Punto: segna il punto F
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio FG = CDx0,866
- Poligono regolare: disegna il triangolo equilatero EFG
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza EFG
- comando Centro[nome circonferenza]: segna il centro H
- Segmento: disegna i segmenti EH, HF, HG
- Retta: disegna la retta KH
- Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza di raggio KH=AC e la circonferenza di raggio HL=CB
- Segmento: disegna i segmenti EK, FK, KG
Lemma: Va dimostrato che AB sta a BC come il quadrato su AD sta al quadrato su DC
.Si fissi la figura del semicerchio, si congiunga DB, si descriva il quadrato EC su AC, e si completi il parallelogrammo FB (Prop.1-46). Poiché il triangolo DAB è equiangolo al triangolo DAC, allora BA sta ad AD come DA sta ad AC (Prop.6-8) (Prop.6-4). Il rettangolo BA per AC è quindi uguale al quadrato su AD (Prop.6-17).
E poiché AB sta a BC come EB sta a BF, e EB è il rettangolo BA per AC, EA è infatti uguale ad AC, e BF è il rettangolo AC per CB, pertanto AB sta a BC come il rettangolo BA per AC sta al rettangolo AC per CB (Prop.6-1). Ed il rettangolo BA per AC è uguale al quadrato su AD, e il rettangolo AC per CB è uguale al quadrato su DC, la perpendicolare DC è infatti una media proporzionale tra i segmenti AC e CB della base, poiché l'angolo ADB è retto. AB sta quindi a BC come il quadrato su AD sta al quadrato su DC (Prop.6-8-Cor).
La costruzione con GeoGebra:
- si riprenda la figura e si mantenga solo il semicerchio ABD
- Segmento: disegna il segmento BD
- Poligono Regolare: disegna il quadrato EC di lato AC
- Parallela: completare il rettangolo EB e tracciare CF
Questa figura è nota come tetraedro regolare, un solido formato da quattro triangoli equilateri uguali.