LIBRO XIII
Prop.12: Se un triangolo equilatero è inscritto in un cerchio, allora il quadrato del lato del triangolo è triplo del quadrato del raggio del cerchio
Dimostrazione
Si inscriva in un cerchio ABC un triangolo equilatero ABC: dico che un solo lato del triangolo è triplo del quadrato del raggio del cerchio.
Si prenda il centro D del cerchio ABC (Prop.3-1) e si congiunga AD e si conduca oltre fino al punto E, e si congiunga BE.
E poiché il triangolo ABC è equilatero, allora l'arco BEC è una terza parte della circonferenza del cerchio ABC. L'arco BE è quindi una sesta parte della circonferenza del cerchio. La retta BE appartiene quindi all'esagono. Essa è quindi uguale al raggio DE (Prop.4-15-Cor).
E poiché AE è doppio di DE, allora il quadrato su AE è quadruplo del quadrato su ED, cioè del quadrato su BE. Ma il quadrato su AE è uguale alla somma dei quadrati su AB e BE (Prop.1-47). La somma dei quadrati su AB e BE è quindi il quadruplo del quadrato su BE.
Allora, presi separatamente, il quadrato su AB è triplo del quadrato su BE. Ma BE è uguale a DE, pertanto il quadrato su AB è triplo del quadrato su DE. Il quadrato su lato del triangolo è quindi triplo del quadrato sul raggio.
Il lato AB del triangolo è quindi triplo del quadrato del raggio del cerchio.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento BC
- Poligono Regolare: disegna il triangolo equilatero di lato BC
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta al pentagono
- comando Centro[nome circonferenza]: segna il centro F
- Segmento: disegna il diametro AE e il segmento BE
Questa è la ben nota relazione ottenibile o dal II teorema di Euclide o dal teorema della corda in trigonometria: \(l = r \sqrt{3}\)