LIBRO XIII
Prop.11: Se un pentagono equilatero è inscritto in un cerchio che ha il diametro razionale, allora il lato del pentagono è la retta irrazionale chiamata minore
Dimostrazione
Si inscriva in un cerchio ABCDE, che ha il diametro razionale, un pentagono equilatero ABCDE: dico che il lato del pentagono ABCDE è una retta irrazionale, quella chiamata minore.
Si prenda il centro F del cerchio (Prop.3-1), si congiungano AF e FB e si conducano oltre fino ai punti G, H, e si congiunga AC e si ponga AF quarta parte di FK (Prop.6-9). E AF è razionale, pertanto anche FK è razionale. Ma anche BF è razionale, pertanto BK totale è razionale.
E poiché l'arco ACG è uguale all'arco ADG, dei quali ABC è uguale a AED, allora CG restante è uguale a GD restante. E se congiungiamo AD, allora concludiamo che gli angoli in L sono retti, e CD è doppio di CL. Per gli stessi motivi anche gli angoli in M sono retti, e AC è doppio di CM. Poiché dunque l'angolo ALC è uguale all'angolo AMF, e l'angolo LAC è in comune ai due triangoli ACL, AMF, allora l'angolo ACL restante è uguale all'angolo MFA restante (Prop.1-32).
Il triangolo ACL è quindi equiangolo al triangolo AMF. In proporzione quindi LC sta a CA come MF sta a FA. E i doppi degli antecedenti, pertanto LC sta a CA come il doppio di MF sta a F. Ma il doppio di MF sta a FA come MF sta alla metà di FA, pertanto anche il doppio di LC sta a CA come MF sta alla metà di FA.
E prendendo le metà dei conseguenti, il doppio di LC sta alla metà di CA come MF sta a un quarto di FA. E DC è doppio di LC, CM è metà di CA, e FK è una quarta parte di FA, pertanto DC sta a CM come MF sta a FK. E componendo, la somma di DC e CM sta a CM come MK sta a KF. Il quadrato sulla somma di DC e CM sta quindi al quadrato su CM come il quadrato su MK sta al quadrato su KF (Prop.5-18)
E poiché, quando la retta opposta ai due lati del pentagono AC è secata nel rapporto estremo e medio, il segmento maggiore è uguale al lato del pentagono (Prop.13-8), cioè DC, mentre il quadrato sul segmento maggiore aggiunto alla metà del totale è cinque volte il quadrato della metà del totale, e CM è la metà di AC totale (Prop.13-1), allora il quadrato su DC e CM come su una sola retta è cinque volte il quadrato su CM.
Ma è è stato dimostrato che il quadrato su DC e CM presi come una sola retta sta al quadrato su CM come il quadrato su MK sta al quadrato su KF, pertanto il quadrato su MK è cinque volte il quadrato su KF. Ma il quadrato su KF è razionale, il diametro è infatti razionale, pertanto anche il quadrato su MK è razionale. MK è quindi razionale.
E poiché BF è quadruplo di FK, allora BK è cinque volte KF. Il quadrato su BK è quindi venticinque volte il quadrato su KF. Ma il quadrato su MK è cinque volte il quadrato su KF, pertanto il quadrato su BK è cinque volte il quadrato su KM. Il quadrato su BK non ha quindi con il quadrato su KM il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. BK è quindi incommensurabile in lunghezza con KM (Prop.10-9).
E ognuna di esse è razionale. BK e KM sono quindi rette razionali commensurabili in potenza soltanto. Ma, se da una retta razionale è sottratta una retta razionale che è commensurabile con la totale soltanto, allora la restante è irrazionale, cioè una apotome, pertanto MB è una apotome e MK quella che si adatta ad essa (Prop.10-73).
Dico ora che MB è anche una apotome quarta.
Sia il quadrato su N uguale proprio a quello per il quale il quadrato su BK è maggiore del quadrato su KM. Il quadrato su BK è pertanto maggiore del quadrato su KM per il quadrato su N. E poiché KF è commensurabile con FB, anche componendo, KB è commensurabile con FB (Prop.10-15). Ma BF è commensurabile con BH, pertanto anche BK è commensurabile con BH (Prop.10.-12).
E poiché il quadrato su BK è cinque volte il quadrato su KM, allora il quadrato su BK ha con il quadrato su KM il rapporto che 5 ha con 1. Pertanto, convertendo (Prop.5-19-Cor), anche il quadrato su BK ha con il quadrato su N il rapporto che 5 ha con 4, e questo non è il rapporto che un numero quadrato ha con un numero quadrato. BK è quindi incommensurabile con N. Il quadrato su BK è quindi maggiore del quadrato su KM per il quadrato su una retta incommensurabile con BK (Prop.10-9).
Poiché quindi il quadrato su BK totale è maggiore del quadrato sul quadrato che si adatta KM per il quadrato su una retta incommensurabile con BK, e BK totale è commensurabile con la retta razionale fissata BH, allora MB è una apotome quarta (Def.10-3/4).
Ma il rettangolo compreso da una razionale e da una apotome quarta è irrazionale, e la retta che lo può [la sua radice quadrata] è irrazionale, ed è chiamata minore (Prop.10-94). Ma il quadrato su AB è uguale al rettangolo HB per BM, poiché, quando si aggiunge AH, il triangolo ABH è equiangolo al triangolo ABM, e HB sta a BA come AB sta a BM. Il lato AB del pentagono è quindi una retta irrazionale chiamata minore.
Il lato AB del pentagono è quindi una irrazionale, quella chiamata minore.
La costruzione con GeoGebra:
- Retta: disegna una retta su cui prendere il segmento CD
- Poligono Regolare: disegna il pentagono di lato CD
- Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza circoscritta al pentagono
- comando Centro[nome circonferenza]: segna il centro F
- Segmento: disegna i diametri AG e BH e il segmento AC
- Circonferenza di raggio dato: disegna FK = AF/4
- Segmento: disegna i segmenti BK e KM.
- Circonferenza di raggio dato: disegna N = sqrt(BKxBK-KMxKM)