LIBRO X - Terza Parte
Prop.94: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una apotome quarta, allora il lato dell'area è minore
Dimostrazione
Sia l'area AB compresa dalla retta razionale AC e dall'apotome quarta AD: dico che il lato dell'area AB è minore.
Sia DG adattata a AD. Allora AG e GD sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e AG è commensurabile in lunghezza con la razionale AC fissata, e il quadrato su AG totale è maggiore del quadrato su quella che si adatta DG per il quadrato su una retta incommensurabile in lunghezza con AG (Def.10-14).
Poiché il quadrato su AG è maggiore del quadrato su GD per il quadrato su una retta commensurabile con se stessa, allora, se è applicato ad AG un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato su GD e facente difetto di una figura quadrata, allora la divide in segmenti incommensurabili (Prop.10-18).
Si sechi DG a metà in E, e si applichi ad AG un parallelogrammo uguale al quadrato su EG e facente difetto per una figura quadrata, e sia questa il rettangolo AF per FG. Allora AF è incommensurable in lunghezza con FG. Si traccino EH, FI, GK per i punti E, F, G parallele ad AC e BD.
Poiché AG è razionale e commensurabile in lunghezza con AC, allora AK totale è razionale (Prop.10-19). Di nuovo, poiché DG è incommensurabile in lunghezza con AC, sono entrambe razionali, allora DK è mediale (Prop.10-21). E poiché AF è incommensurabile in lunghezza con FG, allora AI è incommensurabile con FK (Prop.10-11).
Si costruisca il quadrato LM uguale ad AI, e si sottragga il quadrato NO, uguale a FK, avente un angolo comune con esso, l'angolo LPM. I quadrati LM, NO sono quindi intorno alla stessa diagonale (Prop.6-26). Sia PR la loro diagonale, e si completi la figura. Poiché il rettangolo AF per FG è uguale al quadrato su EG, allora, AF sta a EG come EG sta a FG (Prop.6-17).
Ma AF sta a EG come AI sta a EK, e EG sta a FG come EK sta a FK (Prop.6-1), pertanto EK è un medio propozionale tra AI e FK (Prop.6-11). Ma anche MN un medio proporzionale tra i quadrati LM e NO, e AI è uguale a LM, e FK a NO; anche EK è quindi uguale a MN.
Ma DH è uguale a EK, e LO a MN, pertanto DK totale è uguale allo gnomone UVW e a NO. Poiché, allora, AK totale è uguale alla somma dei quadrati LM e NO, dei quali DK è uguale allo gnomone UVW e al quadrato NO, allora AB restante è uguale a ST, cioè al quadrato su LN. LN è quindi il lato dell'area AB.
Dico che LN è irrazionale, quella chiamata minore.
Poiché AK è razionale e uguale alla somma dei quadrati su LP e PN, allora la somma dei quadrati su LP e PN è razionale. Di nuovo, poiché DK è mediale, e DK è uguale al doppio del rettangolo LP per PN, allora il doppio del rettangolo LP per PN è mediale. E poiché AI è stato dimostrato incommensurabile con FK, allora anche il quadrato su LP è incommensurabile con il quadrato su PN.
LP e PN sono quindi rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionale, ma il doppio del rettangolo da esse compreso mediale. LN è quindi irrazionale, quella chiamata minore, ed è il lato dell'area AB (Prop.10-76).
Il lato dell'area AB è quindi una apotome seconda di una mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AD e DG adiacenti
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a AD passante per A e su di essa traccia il segmento AC
- Perpendicolare: completa il rettangolo AB
- Punto Medio: segna il punto medio, E, di DG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GF = (AG-sqrt(AGxAG-4xAG*AC+DGxDG)
- Perpendicolare: traccia le perpendicolari ad AG passanti per E e F
- Parallela: disegna la parallela a AG passante per un punto L
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato LP = sqrt(AFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato LM
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato NP = sqrt(GFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato NO
- Segmento: disegna i segmenti NT, SO
- Angolo: disegna l'angolo concavo UVW