LIBRO X - Terza Parte
Prop.95: Se un'area è compresa da una retta razionale e da una apotome quinta, allora il lato dell'area è quello che con una razionale produce il totale mediale
Dimostrazione
Sia l'area AB compresa dalla retta razionale AC e dall'apotome quinta AD: dico che il lato dell'area AB è quella che con una razionale produce il totale mediale.
Sia DG adattata a AD. Allora AG e GD sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza, e quella che si adatta DG è commensurabile in lunghezza con la razionale AC fissata, e il quadrato su quella totale AG è maggiore del quadrato su quella che si adatta DG per il quadrato su una retta incommensurabile con se stessa (Def.10-15).
Se quindi è applicato ad AG un parallelogrammo uguale alla quarta parte del quadrato su DG e facente difetto per una figura quadrata, allora la divide in segmenti commensurabili (Prop.10-18). Si sechi DG a metà in E, e si applichi ad AG un parallelogrammo uguale al quadrato su EG e facente difetto per una figura quadrata, e sia questa il rettangolo AF per FG. Allora AF è incommensurable in lunghezza con FG.
E poiché AG è incommensurabile in lunghezza con CA, sono infatti entrambe razionali, allora AK è mediale (Prop.10-21). Di nuovo, poiché DG è razionale e commensurabile in lunghezza con AC, allora DK è razionale (Prop.10-19).
Si costruisca il quadrato LM uguale ad AI, e si sottragga il quadrato NO, uguale a FK, avente un angolo comune con esso, l'angolo LPM. I quadrati LM, NO sono quindi intorno alla stessa diagonale (Prop.6-26). Sia PR la loro diagonale, e si completi la figura. Similmente si dimostra che LN è il lato dell'area AB.
Dico che LN è una retta che produce con un'area razionale un totale mediale.
Poiché AK è stao dimostrato mediale e uguale alla somma dei quadrati su LP e PN, allora la somma dei quadrati su LP e PN è mediale. Di nuovo, poiché DK è razionale e uguale al doppio del rettangolo LP per PN, allora anch'esso è razionale. E poiché AI è incommensurabile con FK, allora anche il quadrato su LP è incommensurabile con il quadrato su PN.
LP e PN sono quindi rette incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse mediale ma il doppio del rettangolo da esse compreso razionale. LN restante è quindi la retta irrazionale, chiamata quella che produce con un'area razionale un totale mediale, e che è il lato dell'area AB (Prop.10-77).
Se quindi un'area è compresa da una retta razionale e da una apotome quinta, allora il lato dell'area è quello che con una razionale produce il totale mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AD e DG adiacenti
- Perpendicolare: traccia la perpendicolare a AD passante per A e su di essa traccia il segmento AC
- Perpendicolare: completa il rettangolo AB
- Punto Medio: segna il punto medio, E, di DG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento GF = (AG-sqrt(AGxAG-4xAG*AC+DGxDG)
- Perpendicolare: traccia le perpendicolari ad AG passanti per E e F
- Parallela: disegna la parallela a AG passante per un punto L
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato LP = sqrt(AFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato LM
- Circonferenza di dato raggio: disegna il lato del quadrato NP = sqrt(GFxAC)
- Poligono Regolare: disegna il quadrato NO
- Segmento: disegna i segmenti NT, SO
- Angolo: disegna l'angolo concavo UVW