LIBRO X - Seconda Parte
Prop.77: Se da una retta è sottratta una retta che è incommensurabile in potenza con la totale, e che con la totale produce la somma dei quadrati su di esse mediale ma il doppio del rettangolo compreso da esse razionale, allora la restante è irrazionale; sia chiamata quella che produce con un'area razionale una totale mediale
Dimostrazione
Da una retta AB sia sottratta una retta BC che è incommensurabile in potenza con AB e che fa quanto proposto: dico che la restante AC è la retta irrazionale, quella predetta.
Poiché la somma dei quadrati su AB e BC è mediale, mentre il doppio del rettangolo AB per BC è razionale, allora la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC. Anche la somma dei quadrati su AB e BC è quindi incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC (Prop.10-16).
Ma il doppio del rettangolo AB per BC è razionale, pertanto il quadrato su AC è irrazionale. AC è quindi irrazionale. Sia chiamata quella che produce con un'area razionale il totale mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Segmento: disegna il segmento BC