LIBRO X - Seconda Parte
Prop.76: Se da una retta è sottratta una retta che è incommensurabile in potenza con la totale e che con la totale produce la somma dei quadrati insieme su di esse razionale, ma il rettangolo compreso da esse mediale, allora la restante è irrazionale; sia chiamata minore
Dimostrazione
Da una retta AB sia sottratta una retta BC che è incommensurabile in potenza con quella totale che con quella totale fa quanto proposto (Prop.10-33): dico che la restante AC è la retta irrazionale, quella chiamata minore.
Poiché la somma dei quadrati su AB e BC è razionale, mentre il doppio del rettangolo AB per BC è mediale, allora la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC, e, convertendo (Prop.2-7), la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con la restante, il quadrato su AC (Prop.10-16).
Ma la somma dei quadrati su AB e BC è razionale, pertanto il quadrato su AC è irrazionale. AC è quindi irrazionale e sia chiamata minore.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna il segmento AB
- Segmento: disegna il segmento BC