Elementi di Euclide

Prop.75: Se da una retta mediale è sottratta una mediale che è commensurabile con la totale solo in potenza, e che comprende con la totale un rettangolo mediale, allora la restante è irrazionale; sia chiamata apotome seconda di una mediale

Dimostrazione

Da una mediale AB sia sottratta una mediale CB che è commensurabile soltanto in potenza con quella totale AB e che con AB forma il rettangolo compreso da AB, BC mediale: dico che la restante AC è la retta irrazionale chiamata apotome seconda di una mediale.

Si fissi una retta razionale DI. Si applichi DE, uguale alla somma dei quadrati su AB e BC, a DI che produce DG come larghezza. Si applichi DH, uguale al doppio del rettangolo AB per BC, a DI che produce DF come larghezza. Allora FE restante è uguale al quadrato su AC (Prop.2-7).

E poiché i quadrati su AB e BC sono mediali e commensurabili, allora anche DE è mediale (Prop.10-15 e Prop.10-23-Cor). Ed è applicata alla retta razionale DI, che produce DG come larghezza, pertanto DG è razionale e incommensurabile in lunghezza con DI (Prop.10-22).

Di nuovo, poiché il rettangolo AB per BC è mediale, allora anche il doppio del rettangolo AB per BC è mediale (Prop.10-23-Cor). Ed è uguale a DH, pertanto anche DH è mediale. Ed è applicata alla razionale DI, producendo DF come larghezza, pertanto DF è razionale e incommensurabile in lunghezza con DI (Prop.10-22).

Poiché AB e BC sono commensurabili soltanto in potenza, allora AB è incommensurabile in lunghezza con BC. Anche il quadrato su AB è quindi incommensurabile con il rettangolo AB per BC (Prop.10-11). Ma la somma dei quadrati su AB e BC è commensurabile con il quadrato su AB, e il doppio del rettangolo AB per BC è commensurabile con il rettangolo AB per BC, allora il doppio del rettangolo AB per BC è incommensurabile (Prop-10-13) con la somma dei quadrati su AB e BC (Prop.10-15).

Ma DE è uguale alla somma dei quadrati su AB e BC, e DH è uguale al doppio del rettangolo AB per BC, pertanto DE è incommensurabile con DH. Ma DE sta a DH come GD sta a DF (Prop.6-1), pertanto GD è incommensurabile con DF (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali; GD e DF sono quindi razionali commensurabili soltanto in potenza. FG è quindi una apotome (Prop.10-73).

Ma DI è razionale, e il rettangolo compreso da una razionale e da una irrazionale è irrazionale, e i suoi lati sono irrazionali (Prop.10-20). E AC è il lato di FE, pertanto AC è irrazionale e sia chiamata apotome seconda di una mediale.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti AB e CB contenuto in AB
• Segmento: disegna il segmento DI
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare a DI passante per D
• Circonferenza di raggio dato: disegna sulla perpendicolare il segmento DG = (ABxAB + BCxBC)/DI
• Perpendicolare: completa il rettangolo AE
• Circonferenza di raggio dato: disegna sulla perpendicolare il segmento DF = (2xABC)/DI