Elementi di Euclide

Prop.78: Se da una retta è sottratta una retta che è incommensurabile in potenza con la totale e che con la totale produce la somma dei quadrati su di esse mediale, e il doppio del rettangolo da esse compreso mediale, e inoltre i quadrati su di esse incommensurabili con il doppio del rettangolo compreso da esse, allora la restante è irrazionale; sia chiamata quella che produce con un'area mediale una totale mediale

Dimostrazione

Da una retta AB sia sottratta una retta BC che è incommensurabile in potenza con AB e che fa quanto proposto (Prop.10-35): dico che la restante AC è la retta irrazionale e sia chiamata quella che produce con un'area mediale una totale mediale.

Sia fissata una retta razionale DI. Si applichi DE, uguale alla somma dei quadrati su AB e BC, a DI che produce DG come larghezza. Si sottragga DH uguale al doppio del rettangolo AB per BC. Allora FE restante è uguale al quadrato su AC, così che AC è il lato di FE (Prop.2-7).

E poiché la somma dei quadrati su AB e BC è mediale e uguale a DE, allora DE è mediale. Ed è applicata alla razionale DI che produce DG come larghezza, pertanto DG è razionale e incommensurabile in lunghezza con DI (Prop.10-22). Di nuovo, poichè il doppio del rettangolo AB per BC è mediale e uguale a DH, allora DH è mediale. Ed è applicata alla razionale DI che prodice DF come larghezza, anche DF è quindi razionale e incommensurabile in lunghezza con DI.

Poché la somma dei quadrati su AB e BC è incommensurabile con il doppio del rettangolo AB per BC, allora anche DE è incommensurabile con DH. Ma DE sta a DH come DG sta a DF (Prop.6-1), pertanto DG è incommensurabile con DF (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali, pertanto GD e DF sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. FG è quindi una apotome (Prop.10-73).

E FH è razionale, e il rettangolo compreso da una razionale e da una apotome è irrazionale, e i suoi lati irrazionali (Prop.10-20). E AC è il lato di FE: AC è quindi irrazionale e sia chiamata quella che produce con un'area mediale una totale mediale.

La costruzione con GeoGebra:

• Segmento: disegna i segmenti AB e CB contenuto in AB
• Segmento: disegna il segmento DI
• Perpendicolare: disegna la perpendicolare a DI passante per D
• Circonferenza di raggio dato: disegna sulla perpendicolare il segmento DG = (ABxAB + BCxBC)/DI
• Perpendicolare: completa il rettangolo AE
• Circonferenza di raggio dato: disegna sulla perpendicolare il segmento DF = (2xABC)/DI