LIBRO X - Seconda Parte
Prop.79: Ad un'apotome si adatta soltanto una retta razionale che è commensurabile soltanto in potenza con la totale
Dimostrazione
Sia AB una apotome e BC una retta che si adatta ad essa. Allora AC e BC sono rette razionali commensurabili solo in potenza (Prop.10-73): dico che a AB non si adatta un'altra retta che è commensurabile soltanto in potenza con quella totale.
Se possibile, si adatti BD. Anche AD e DB sono quindi rette razionali commensurabili soltanto in potenza (Prop.10-73).
E poiché ciò per cui la somma dei quadrati su AD e DB eccede il doppio del rettangolo AD per DB, eccede anche la somma dei quadrati su AC e CB sul doppio del rettangolo AC per CB, entrambi eccedono infatti per lo stesso quadrato su AB, allora, alternando (Prop.2-7), ciò che eccede la somma dei quadrati su AD e DB sulla somma dei quadrati su AC e CB è ciò che eccede il doppio del rettangolo AD per DB sul doppio del rettangolo AC per CB.
Ma la somma dei quadrati su AD e DB eccede la somma dei quadrati su AC e CB per un'area razionale, entrambi sono infatti razionali, allora il doppio del rettangolo su AD per DB eccede anche il doppio del rettangolo AC per CB per un'area razionale, il che è impossibile, sono entrambe mediale, e un'area mediale non eccede una mediale per un'area razionale (Prop.10-26).
Pertanto nessun altra retta razionale può essere adattata ad AB che è commensurabile soltanto in potenza con la totale. Solo una retta razionale può quindi essere adattata ad una apotome che è commensurabile soltanto in potenza con la totale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB, BC e CD