LIBRO X - Seconda Parte
Prop.80: Ad un'apotome prima di una retta mediale si adatta solo una retta mediale che è commensurabile con la totale solo in potenza e che comprende con la totale un rettangolo razionale
Dimostrazione
Sia AB una apotome prima di una mediale, e ad AB si adatti BC. Allora AC e CB sono rette mediali commensurabili solo in potenza tali che il rettangolo AC per CB che esse comprendono è razionale (Prop.10-74): dico che a AB non si adatta un'altra mediale che è commensurabile soltanto in potenza con quella totale e che con quella totale comprende un'area razionale.
Se possibile, si adatti anche DB. Allora AD e DB sono mediali commensurabili soltanto in potenza tali che il rettangolo AD per DB da esse compreso è razionale (Prop.10-74).
E poiché ciò per cui la somma dei quadrati su AD e DB eccede il doppio del rettangolo AD per DB, eccede anche la somma dei quadrati su AC e CB sul doppio del rettangolo AC per CB, entrambi eccedono infatti per lo stesso quadrato su AB, allora, alternando (Prop.2-7), ciò che eccede la somma dei quadrati su AD e DB sulla somma dei quadrati su AC e CB è ciò che eccede anche il doppio del rettangolo AD per DB sul doppio del rettangolo AC per CB.
Ma il doppio del rettangolo AD per DB eccede il doppio del rettangolo AC per CB per un'area razionale, sono infatti entrambi razionali. Ma il doppio del rettangolo AD per DB eccede il doppio del rettangolo AC per CB per un'area razionale, sono infatti entrambi razionali (Prop.10-26).
Ad un'apotome prima di una retta mediale si adatta quindi solo una retta mediale che è commensurabile con la totale solo in potenza e che comprende con la totale un rettangolo razionale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB, BC e CD