LIBRO X - Seconda Parte
Prop.81: Ad un'apotome seconda di una retta mediale si adatta solo una retta mediale che è commensurabile con la totale solo in potenza e che comprende con la totale una retta mediale
Dimostrazione
Sia AB una apotome seconda di una mediale, e ad AB si adatti BC. Allora AC e CB sono rette mediali commensurabili solo in potenza tali che il rettangolo AC per CB che esse comprendono è mediale (Prop.10-75): dico che a AB non si adatta un'altra mediale che è commensurabile soltanto in potenza con quella totale e che con quella totale comprende un rettangolo mediale.
Se possibile, si adatti anche BD. Allora anche AD e DB sono rette mediali commensurabili soltanto in potenza tali che il rettangolo AD per DB che esse comprendono è mediale (Prop.10-75).
Si fissi una retta razionale EF. Si applichi EG, uguale alla somma dei quadrati su AC e CB, a EF che produce EM come larghezza. Si sotragga HG, uguale al doppio del rettangolo AC per CB, che produce HM come larghezza. Allora EL restante è uguale al quadrato su AB (Prop.2-7), così che AB è il lato di EL.
Di nuovo, si applichi EI, uguale alla somma dei quadrati su AD e DB, a EF che produce EN come larghezza. Ma anche EL è uguale al quadrato su AB, pertanto HI restante è uguale al doppio del rettangolo AD per DB (Prop.2-7).
E poiché AC e CB sono mediali, allora anche i quadrati su AC e CB sono mediali. E sono uguali a EG, anche EG è quindi mediale (Prop.10-15). Ed è apllicato alla retta razionale EF, producendo EM come larghezza; EM è quindi razionale e incommensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-22).
Di nuovo, poiché il rettangolo AC per CB è mediale, anche il doppio del rettangolo AC per CB è mediale (Prop.10-23-Cor). Ed è uguale a HG, anche HG è quindi mediale. Ed è applicato alla retta razionale EF, producendo HM come larghezza, anche HM è quindi razionale e incommensurabile in lunghezza con EF (Prop.10-22).
Poiché AC e CB sono commensurabili soltanto in potenza, allora AC è incommensurabile in lunghezza con CB. Ma AC sta a CB come il quadrato su AC sta al rettangolo AC per CB, pertanto il quadrato su AC è incommensurabile con il rettangolo AC per CB (Prop.10-11).
Ma la somma dei quadrati su AC e CB è commensurabile con il quadrato su AC (Prop.10-6), mentre il doppio del rettangolo AC per CB è commensurabile con il rettangolo AC per CB, pertanto la somma dei quadrati su AC e CB è incommensurabile con il doppio del rettangolo AC per CB (Prop.10-13). Ed EG è uguale alla somma dei quadrati su AC e CB, mentre GH è uguale al doppio del rettangolo AC per CB, pertanto EG è incommensurabile con HG.
Ma EG sta a HG come EM sta a HM (Prop.6-1), pertanto EM è incommensurabile in lunghezza con MH (Prop.10-11). Ed entrambe sono razionali, pertanto EM e MH sono rette razionali commensurabili soltanto in potenza. EH è quindi una apotome, e HM è applicata ad essa (Prop.10-73).
Del tutto similmente si dimostra che anche HN è applicata ad essa. Pertanto ad una apotome si adattano rette differenti che sono commensurabili con in potenza soltanto con quella totale, il che è impossibile (Prop.10-79).
Ad un'apotome seconda di una retta mediale si adatta quindi solo una retta mediale che è commensurabile con la totale solo in potenza e che comprende con la totale una retta mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB, BC, AD e BD adiacenti
- Segmento: disegna il segmento EF
- Perpendicolare: disegna la perpendicolare ad EF per E
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EM = (ACxAC+CBxCB)/EF
- Perpendicolare: completa il rettangolo EG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento HM = (2xACxCB)/EF
- Perpendicolare: completa il rettangolo HG
- Circonferenza di dato raggio: disegna il segmento EN = (ADxAD+DBxDB)/EF
- Perpendicolare: completa il rettangolo EI