LIBRO X - Seconda Parte
Prop.82: Ad una retta minore si adatta solo una retta che è incommensurabile in potenza con la totale e che produce, con la totale, la somma dei quadrati su di esse razionale ma il doppio del rettangolo da esse compreso mediale
Dimostrazione
Sia AB una minore, e ad AB si adatti BC. Allora AC e CB sono incommensurabili in potenza che fanno la somma dei quadrati su di esse razionali, ma il doppio del rettangolo da esse compreso mediale (Prop.10-76): dico che a AB non si adatta un'altra retta che fa le stesse cose.
Se possibile, si adatti anche BD. Allora anche AD e DB sono rette incommensurabili in potenza che fanno quanto predetto (Prop.10-76).
E poiché l'eccesso della somma dei quadrati su AD e DB sulla somma dei quadrati su AC e CB è anche l'eccesso del doppio del rettangolo AD per DB sul doppio del rettangolo AC per CB, mentre la somma dei quadrati su AD e DB eccede la somma dei quadrati su AC e CB per un'area razionale, sono entrambe infatti razionali, allora anche il doppio del rettangolo AD per DB eccede il doppio del rettangolo AC per CB per un'area razionale, il che è impossibile, sono infatti entrambe mediali (Prop.10-26).
Ad una retta minore si adatta quindi solo una retta che è incommensurabile in potenza con la totale e che produce, con la totale, la somma dei quadrati su di esse razionale ma il doppio del rettangolo da esse compreso mediale.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB, BC, CD adiacenti