LIBRO X - Seconda Parte
Prop.83: Ad una retta che produce con un'area razionale una mediale totale si adatta solo una retta che è incommensurabile in potenza con la totale e che con la totale produce la somma dei quadrati su di esse mediale ma il doppio del rettangolo da esse compreso razionale
Dimostrazione
Sia AB una retta che con una mediale totale produce un'area razionale, e ad AB si adatti BC. Allora AC e CB sono incommensurabili in potenza che fanno quanto proposto (Prop.10-77): dico che a AB non si adatta un'altra retta che fa le stesse cose.
Se possibile, si adatti BD. Anche AD e DB sono quindi rette incommensurabili in potenza che fanno quanto proposto (Prop.10-77).
Come con quelli prima di questo, l'eccesso della somma dei quadrati su AD e DB sulla somma dei quadrati su AC e CB è anche l'eccesso del doppio del rettangolo AD per DB sul doppio del rettangolo AC per CB, mentre il doppio del rettangolo AD per DB eccede il doppio del rettangolo AC per CB di un'area razionale, entrambi sono infatti razionali, pertanto anche la somma dei quadrati su AD e DB eccede la somma dei quadrati su AC e CB per un'area razionale, il che è impossibile, entrambi sono infatti mediali (Prop.10-26).
Non si dà quindi il caso che ad AB si adatti un'altra retta che è incommensurabile in potenza con quella totale e che produce, con la totale, quanto predetto. Se ne adatta quindi una soltanto.
La costruzione con GeoGebra:
- Segmento: disegna i segmenti AB, BC, CD adiacenti